Axiome von Kolmogorow

Andrei Kolmogorow (1903 – 1987) war ein sowjetischer Mathematiker und einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Mit seinen drei Axiomen haben wir ein Grundgerüst für unsere Arbeit mit der Wahrscheinlichkeit.

Axiom 1:

    \[ P(E) \geq 0 \quad \forall E \subset \Omega \]

Axiom 2:

    \[ P(\Omega) = 1 \]

Die Wahrscheinlichkeit P von einem Ereignis E ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1, denn E ist eine Untermenge des gesamten Ergebnisraums \Omega aller möglichen Ergebnisse.

    \[ 0 \; \leq \; P(E) \; \leq \; 1 \]

Die Wahrscheinlichkeit wird oft auch in Prozenten angegeben:

    \[ 0\% \; \leq \; P(E) \; \leq \; 100\% \]

Beispiel

Berechne P(\overline{E}) für den Fall, dass P(E) = 80\%.


Wir wissen, dass das Ereignis \overline{E} das Gegenereignis von E ist. Die Elemente der Menge E (Ergebnisse) und die Elemente der Menge \overline{E} bilden zusammen alle möglichen Element und somit den Ergebnisraum \Omega:

    \[ E \cup \overline{E} = \Omega \]

oder anders ausgedrückt: \overline{E} ist Menge aller Ergebnisse (Ergebnisraum) ohne die Ergebnisse E:

    \[ \overline{E} = \Omega \backslash E \]

Mit dem zweiten Axiom von Kolmogorow erhalten wir:

    \[ P(\overline{E}) = P(\Omega) - P(E) \]

    \[ P(\overline{E}) = 1 - 0.8 = \underline{0.2} \]

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \overline{E} ist somit 20%.

Axiom 3 von Kolmogorow

Kolmogorows drittes Axiom betrifft die Wahrscheinlichkeit von unvereinbaren Ereignismengen, die keine gemeinsame Schnittmenge haben bzw. disjunkt sind.

Axiom 3:

    \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

für disjunkte Ereignismengen A und B, d.h.

    \[ A \cap B = \{\;\} \]

Beispiel

Zeige mit dem dritten Axiom von Kolmogorow, dass die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, genau 50% entspricht.


Beim Würfeln mit einem Würfel haben wir die folgenden Elementarereignisse:

    \[ E_1 = \{ 1 \}, \quad E_2 = \{ 2 \}, \quad E_3 = \{ 3 \} \]

    \[ E_4 = \{ 4 \}, \quad E_5 = \{ 5 \}, \quad E_6 = \{ 6 \} \]

Wenn der Würfel eine bestimmte Augenzahl zeigt, dann sind die anderen Augenzahlen damit automatisch ausgeschlossen. Die Elementarereignisse E_i sind deshalb disjunkt, d.h. sie überlappen sich nicht. Sie haben leere Schnittmengen, ausser wenn sie mit sich selber geschnitten werden. Mathematisch wird das so geschrieben:

    \[ E_i \cap E_j = \{ \, \} \quad (i \neq j) \]

Das Ereignis A, das uns interessiert ist:

    \[ A = E_2 \cup E_4 \cup E_6 = \{ 2,\, 4,\, 6\} \]

Da die Teilmengen E_2, E_4 und E_6 disjunkt sind, können wir Kolmogorow 3 anwenden:

    \[ P(A) = P(E_2) + P(E_4) + P(E_6) \]

    \[ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \; = \; \underline{\frac{1}{2}} \]

Die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine gerade Zahl zu würfeln, beträgt 50%.

Elementarereignisse \{\omega_i\} sind immer disjunkt, so dass wir die Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen immer summieren können:

    \[ E = \Big\{\{\omega_1\}, \{\omega_2\}, ..., \{\omega_n\}\Big\} \quad \rightarrow \quad P(E) = P(\{\omega_1\}) + P(\{\omega_2\}) + ... + P(\{\omega_n\}) \]

Beispiel

Eine Urne enthält 8 Kugeln, eine Kugel ist rot (R), zwei Kugeln sind blau (B), die restlichen Kugeln sind grün (G). Nun wird eine Kugel zufällig gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese grün, blau oder rot?

Ereignisse:

  • A = Die gezogene Kugel ist grün
  • B = Die gezogene Kugel ist blau
  • C = Die gezogene Kugel ist rot

Zeichne einen Ereignisbaum und berechne die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Axioms 3 von Kolmogorow.


Wir können jede Kugel von 1 bis 8 nummerieren. Das Ziehen der Kugel 1 entspricht dem Elementarereignis E_1. Da wir 8 gleichwertige Kugeln haben, gilt:

    \[ P(E_i) = \frac{1}{8} \]

Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen addieren sich zur Wahrscheinlichkeit 100%
Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen addieren sich zur Wahrscheinlichkeit 100%

Die ersten fünf Kugeln sind grün, d.h. für das Ereignis A gilt:

    \[ A = E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup E_4 \cup E_5 \]

Da die Elementarereignisse immer disjunkt sind, wie auch hier, können wir Kolmogorow 3 anwenden. Die Wahrscheinlichkeit A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse E_1 bis E_5:

    \[ P(A) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) + P(E_4) + P(E_5) \]

    \[ P(A) = 5 \cdot \frac{1}{8} \; = \; \underline{\frac{5}{8}} \]

Für das Ereignis B, eine blaue Kugel zu ziehen, gilt:

    \[ B = E_6 \cup E_7 \]

    \[ P(B) = P(E_6) + P(E_7) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \; = \; \underline{\frac{2}{8}} \]

Schliesslich haben wir für das Ziehen einer roten Kugel R:

    \[ R = E_8 \quad \rightarrow \quad P(R) \; = \; \underline{\frac{1}{8}} \]

Wahrscheinlichkeiten von sich gegenseitig ausschliessenden Ereignissen addieren sich zur Wahrscheinlichkeit 100%
Wahrscheinlichkeiten von sich gegenseitig ausschliessenden Ereignissen addieren sich zur Wahrscheinlichkeit 100%

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten sämtlicher Äste eines Ereignisbaums ist 1, wenn dieser Ereignisbaum sämtliche möglichen Fälle abdeckt.

Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehrere Elementarereignisse beinhaltet und somit durch mehrere Pfade erreicht wird, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Elementarereignisse.

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