Der Binomialkoeffizient ist eine Rechenvorschrift für zwei (natürliche) Zahlen $n$ und $k$ . In der Kombinatorik wird er sehr viel benutzt, weil er die Schreibweise wesentlich vereinfacht. Geschrieben wird er mit einer grossen Klammer und der Zahl $n$ oben und der Zahl $k$ unten:

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$

Ausgesprochen wir er «n über k» oder «n tief k». Auf dem Taschenrechner kann er unter der Abkürzung nCr gefunden werden. Sie steht für die englische Bezeichnung «n choose r», womit gemeint ist: «r aus n auswählen».

Sein Wert entspricht der Anzahl Kombinationen von $k$ Objekten aus einer Grundmenge von $n$ Objekten (ohne Zurücklegen, d.h. ohne Wiederholungen).

Beachte noch, dass der Binomialkoeffizient einem zweidimensionalen Vektor ähnelt. Er hat aber gar nichts mit einem Vektor zu tun!

Seine Bezeichnung hat der Binomialkoeffizient von den Koeffizienten der verschiedenen Potenzen in den binomischen Formeln.

Der Binomialkoeffizient «n tief k» wird berechnet aus den Fakultäten gemäss folgender Definition:

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n-k)! \; k!}$

Sein Wert entspricht der Anzahl Kombinationen von $k$ Objekten aus einer Grundmenge von $n$ Objekten, ohne Zurücklegen.

Pascalsches Dreieck

Der französische Mathematiker und Physiker Blaise Pascal (1623-1662) schrieb 1655 eine Abhandlung über das arithmetische Dreieck, einem Zahlendreieck, mit welchem er Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie lösen wollte. Dieses Zahlendreieck war schon mehrere Jahrhunderte bekannt. Im 18. Jahrhundert wurde es dann aber Pascal zugeschrieben.

Wenn wir die Koeffizienten der binomischen Formeln anschauen, bilden sie ein Dreieck. Sie werden nicht nur mit steigender Potenz grösser im Betrag, sondern es werden auch immer mehr.

Auffallend ist, dass ganz links und ganz rechts der Koeffizient immer 1 ist. Dann fällt uns auch auf, dass das Dreieck spiegelsymmetrisch ist. Die Koeffizienten beginnen bei 1, steigen an und nehmen dann wieder ab, bis sie wieder 1 sind.

Wenn wir nur die Koeffizienten in Dreiecksformation aufschreiben, fällt uns noch etwas weiteres auf.

Jeder Koeffizient, ausser die Einsen am Rand, werden durch die Summe der beiden Koeffizienten über ihnen berechnet. Diese Zahlen hängen auch mit dem Binomialkoeffizienten zusammen und zwar sind es die Ergebnisse von verschiedenen Binomialkoeffizienten gemäss folgender Abbildung:

Die Zahlen im Pascalschen Dreieck, inklusive den Einsen am Rand, sind die Ergebnisse von Binomialkoeffizienten. Wir erkennen auch ein Muster für die Binomialkoeffizienten. Die Zeile entspricht der oberen Zahl $n$ . Je weiter unten, desto grösser ist $n$ .

Die untere Zahl $k$ entspricht quasi einer «schrägen Koordinate» die mit dem Abstand von der linken Dreieckskante zunimmt.

Anwendungen in der Kombinatorik

Bei der Besprechung der möglichen Anzahl Kombinationen haben wir den Binomialkoeffizienten bereits schon einmal gesehen. Der einfache Binomialkoeffizient $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ entspricht der Anzahl Kombinationen von $k$ Objekten aus einer Grundmenge $n$ ohne Zurücklegen, d.h. mit sich unterscheidenden Objekten:

$^nC_k = \frac{n!}{(n-k)! \; k!} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$

Bei Kombinationen von $k$ aus $n$ , jedoch mit Zurücklegen bzw. sich wiederholenden Objekten, berechnet sich die Anzahl Kombinationen wie folgt:

$\overline{^nC_k} = \frac{(k+n-1)!}{k! \; (n-1)!}$

Um daraus einen Binomialkoeffizienten zu machen, brauchen wir die folgende Struktur:

$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{a!}{(a-b)! \; b!}$

Im Zähler haben wir keine grosse Wahl. Hier steht die Fakultät einer Zahl. Wir setzen deshalb $a = (k+n-1)$ , so dass unser Zähler stimmt. Das $a$ im Zähler kommt auch im Nenner vor und zwar im Ausdruck $(a-b)!$ . $b$ steht auch als Fakultät im Nenner. Wir setzen mal $b=k$ und stellen jetzt den ganzen Bruch auf:

$\frac{a!}{(a-b)! \; b!} = \frac{(k+n-1)!}{\Big((k+n-1)-k\Big)! \;\; k!} = \frac{(k+n-1)!}{\Big((\cancel{k}+n-1)-\cancel{k}\Big)! \; k!} = \frac{(k+n-1)!}{(n-1)! \; k!}$

Somit haben wir tatsächlich mit $a = (k+n-1)$ und $b=k$ für den Bruch der Anzahl Kombinationen mit Zurücklegen einen passenden Binomialkoeffizienten:

$\overline{^nC_k} = \begin{pmatrix} k+n-1 \\ k \end{pmatrix}$

Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Wenn wir ganz am Rand der Pascalschen Dreiecks sind, hat der Koeffizient den Wert $1$ . Das ist dann der Fall, wenn wir ganz links sind ( $k=0$ ) oder ganz rechts ( $k=n$ ).

$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1 = \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}$

Eine Reihe innerhalb des Dreiecks haben wir keine Einsen mehr, aber die Zahlwerte sind einfach die aufsteigenden, natürlichen Zahlen. Wenn wir uns die Definition der Rechenvorschrift des Binomialkoeffizienten in Erinnerung rufen, ist es klar, dass bei einer unteren Zahl $k=1$ der Binomialkoeffizient gleich der oberen Zahl ist, denn:

$\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n-1)!\;1!} = \frac{n \cdot \cancel{(n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}}{\cancel{(n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1} \;\; \cdot 1} = n$

Wegen der Spiegelsymmetrie im Pascalschen Dreieck können wir auch von rechts kommen und eins einrücken und sollten das gleiche Resultat kriegen:

$\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} = n$

Diese Symmetrie-Eigenschaft können wir natürlich erweitern auf beliebige Schritte $k$ vom Rand her, denn auch wenn wir 2-Schritte von links einrücken, ist der Wert des Bionomialkoeffizienten gleich wie bei zwei Schritten von rechts etc.

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}$

Die Binomialkoeffizienten haben folgende mathematische Eigenschaften:

$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1 = \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} = n = \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}$

Beispiel

Ordne die folgenden Binomialkoeffizienten, ohne sie zu berechnen, aufsteigend der Grösse nach. Überprüfe anschliessend mit dem Taschenrechner.

$\begin{pmatrix} 56 \\ 28 \end{pmatrix}, \;\; \begin{pmatrix} 58 \\ 29 \end{pmatrix}, \;\; \begin{pmatrix} 58 \\ 50 \end{pmatrix}, \;\; \begin{pmatrix} 58 \\ 10 \end{pmatrix}$

Wenn wir uns die Position der Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck vorstellen, können wir qualitative Aussagen über ihre Grösse machen:

Drei Binomialkoeffizienten befinden sich in der gleichen Zeile (obere Zahl 58). Je weiter in der Mitte der Zeile, desto grösser ist der Betrag. Der Binomialkoeffizient mit der unteren Zahl 29 ist in der Mitte der Zeile und hat deshalb den höchsten Wert. Der Binomialkoeffizient mit der unteren Zahl 50 ist 8 Werte vom rechten Rand (untere Zahl 58) entfernt. Derjenige mit der unteren Zahl 10 ist 10 Werte vom linken Rand (untere Zahl 0) entfernt. Damit ist der Binomialkoeffizient mit der unteren Zahl 50 etwas weiter aussen als der Andere und damit kleiner.

Der erste Binomialkoeffizient (obere Zahl 56) ist auch in der Mitte des Dreiecks, jedoch zwei Zeilen über dem grössten Binomialkoeffizienten mit oberer Zahl 58. Er ist deshalb kleiner im Betrag, aber immer noch erwartungsgemäss grösser als die beiden Binomialkoeffizienten, die in der Nähe des Rands sich befinden.

Aus diesen Gründen erhalten wir die folgende Anordnung:

$\begin{pmatrix} 58 \\ 50 \end{pmatrix} < \begin{pmatrix} 58 \\ 10 \end{pmatrix} < \begin{pmatrix} 56 \\ 28 \end{pmatrix} < \begin{pmatrix} 58 \\ 29 \end{pmatrix}$

Die berechneten Binomialkoeffizienten bestätigen dies:

$\begin{pmatrix} 58 \\ 50 \end{pmatrix} = 1.917 \cdot 10^9 < \begin{pmatrix} 58 \\ 10 \end{pmatrix} = 5.218 \cdot 10^{10} < \begin{pmatrix} 56 \\ 28 \end{pmatrix} = 7.649 \cdot 10^{15} < \begin{pmatrix} 58 \\ 29 \end{pmatrix} = 3.007 \cdot 10^{16}$

Binomialkoeffizient

Pascalsches Dreieck

Anwendungen in der Kombinatorik

Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Beispiel

Punkt und Gerade

Streuungsmasse

Sinus-Funktion

Kreis

Rechnen mit Wurzeln

Dreidimensionales Koordinatensystem

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Pascalsches Dreieck

Anwendungen in der Kombinatorik

Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Beispiel

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