Vektor mit einem Skalar multiplizieren

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Nehmen wir einen Vektor und addieren ihn dreimal, so entsteht das Dreifache des Vektors:

    \[ \vec{a}+\vec{a}+\vec{a} = 3 \cdot \vec{a} \]

Die Richtung des Vektors \vec{a} wird beibehalten. Die Länge wird verdreifacht.

    \[ \vec{a}+\vec{a}+\vec{a} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix}a_x+a_x+a_x \\ a_y+a_y+a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot a_x \\ 3 \cdot a_y \end{pmatrix} \]

    \[ 3 \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \cdot a_x \\ 3 \cdot a_y \end{pmatrix} \]

Wir können das jetzt auch verallgemeinern mit dem Faktor k:

    \[ k \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} k \cdot a_x \\ k \cdot a_y \end{pmatrix} \]

Wird ein Vektor \vec{v} mit einer Zahl (Skalar) multipliziert, so multipliziert sich jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl.

    \[ k \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} k \cdot v_x \\ k \cdot v_y \end{pmatrix} \]

Der Vektor wird k-fach verlängert. Ist der Betrag von k kleiner eins, so wird der Vektor entsprechend verkürzt. Ein negatives k kehrt die Richtung des Vektors um.

Beispiel

Berechne den Vektor \vec{w}, der die gleiche Richtung hat wie \;\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\;, aber die Länge 10 hat.

Zuerst berechnen wir die Länge von \vec{v}:

    \[ |\vec{v}| = \sqrt{3^2+(-4)^2} \]

    \[ = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Damit haben wir einen Vektor mit der richtigen Richtung, jedoch mit der Länge 5 statt 10. Wir müssen ihn demnach nur in seiner Länge verdoppeln:

    \[ \vec{w} = 2 \cdot \vec{v} \]

    \[ = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \underline{\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \end{pmatrix}} \]

Multiplizieren wir mit einem negativen Faktor k<0, kehren wir die Richtung um. Mit dem Faktor k=(-1) erhalten wir den Gegenvektor mit der umgekehrten Richtung, aber gleichen Länge. Mit k=(-2) wäre die Richtung umgekehrt und die Länge verdoppelt etc.

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