Kollineare Vektoren

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Zwei Vektoren heissen kollinear, wenn sie zu einander parallel sind. Sie haben die gleiche Richtung oder sind exakt entgegengesetzt.

Wir können die Vektoren in eine gemeinsame Gerade g verschieben.

In der obigen Figur sind vier Vektoren gezeichnet, deren Start- und Endpunkte sich auf den Würfelflächen befinden.

Die Vektoren \vec{a} und \vec{c} haben die gleiche Richtung. Sie sind zwar unterschiedlich lang, aber eine Verdoppelung von \vec{a} ergibt genau \vec{c}:

    \[ 2\vec{a} = \vec{c} \]

Die Vektoren \vec{c} und \vec{d} sind auch kollinear. Sie sind gleich lang und einander entgegengesetzt.

    \[ \vec{c} = -\vec{d} \]

Der Vektor \vec{b} erscheint fast gleich wie der Vektor \vec{a}. Das liegt aber an der perspektivischen Darstellung. Eigentlich haben sie eine ganz andere Richtung. \vec{a} liegt in der x,z-Ebene und der Vektor \vec{b} liegt in der x,y-Ebene.

Aus den obigen Beziehungen können wir schreiben:

    \[ \vec{a} = \frac{1}{2} \cdot \vec{c} \]

    \[ \vec{c} = (-1) \cdot \vec{d} \]

Wenn zwei Vektoren \vec{v} und \vec{w} kollinear sind, gibt es einen Faktor k, so dass

    \[ \vec{v} = k \cdot \vec{w} \]

Bei gleich gerichteten Vektoren ist k positiv. Wenn der Faktor negativ ist, sind die beiden Vektoren entgegengesetzt.

Beispiel

Welche der folgenden Vektoren sind kollinear?

    \[ \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1.5 \\ -0.5 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

    \[ \vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}, \quad \vec{d} = \begin{pmatrix} -0.5 \\ -1 \\ 1.5 \end{pmatrix} \]

    \[ \vec{e} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Wir sehen, dass beim Vektor \vec{a} alle drei Komponenten das gleiche Vorzeichen haben. Das ist bei den anderen Vektoren auch der Fall, ausser bei \vec{d}. Der Vektor d kann deshalb nicht kollinear sind mit allen anderen Vektoren.

Wir vergleichen jetzt die Komponenten untereinander. Die dritte Komponente ist die Kleinste. Verdoppeln wir sie, erhalten wir die erste Komponente. Verdreifacht, gibt es die zweite Komponente. Wir sehen, dass der Vektor \vec{e} die gleichen Verhältnisse unter seinen Komponenten hat. Es gilt:

    \[ -\frac{1}{2} \cdot \vec{e} = -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \cdot 2 \\ -\frac{1}{2} \cdot 3 \\ -\frac{1}{2} \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1.5 \\ -0.5 \end{pmatrix} = \vec{a} \]

Jetzt schauen wir uns den Vektor \vec{b} an. Die Verhältnisse von der ersten zur zweiten und zur dritten Komponente betragen 1 : 2 : 3. Wir können deshalb für \vec{b} und \vec{c} schreiben: 

    \[ \frac{1}{3} \cdot \vec{c} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \cdot 3 \\ \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{b} \]

Damit sind \vec{a} und \vec{e} kollinear. Die Vektoren \vec{b} und \vec{c} sind miteinander ebenfalls kollinear. Der Vektor \vec{d} ist mit keinem der anderen Vektoren kollinear.

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