Kreis

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Kreisumfang

Jetzt wo wir die Zahl \pi haben, können wir den Umfang eines Kreises berechnen. Wenn \pi gleich dem Verhältnis von Kreisumfang U zu Durchmesser d ist, dann folgt aus der Gleichung die Formel für den Kreisumfang U, wobei wir den Durchmesser auch mit dem doppelten Radius 2r ersetzen können:

    \[ \pi = \frac{U}{d} \quad \rightarrow \quad U = \pi d = 2 \pi r \]

Der Kreisumfang U eines Kreises mit Radius r bzw. Durchmesser d beträgt:

    \[ U = 2 \pi r = \pi d \]

Kreisbogen

Oft möchten wir aber nur einen Kreisbogen berechnen und nicht den ganzen Kreisumfang. Im folgenden Beispiel soll die Länge des Kreisbogens b berechnet werden, der einem Winkel von 90° entspricht.

Aus der Grafik erkennen wir, dass der Bogen einem Viertel des ganzen Kreisumfangs entsprechen muss. Das ist natürlich kein Zufall, denn der Winkel beträgt ja 90° und ist somit eben ein Viertel des ganzen Kreises mit 360°:

    \[ b = \frac{1}{4} \cdot U = \frac{90°}{360°} \cdot U \]

Ganz allgemein, für einen Winkel \alpha, gilt deshalb:

    \[ b = \frac{\alpha}{360°} \cdot U = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r \]

Der Bogen b für einen Winkel \alpha aus einem Kreis mit Radius r ist der entsprechende Bruchteil von einem ganzen Kreisumfang (360°):

    \[ b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r \]

Beispiel

Eine Strasse macht eine Kurve von 45°. Der eine Strassenrand der Kurve ist 11.8\;\text{m} lang, währenddem der andere Strassenrand 18.1\;\text{m} lang ist.

Wie breit ist die Strasse?

Die Strasse kann mit zwei Bogen beschrieben werden. Der innere und damit kürzere Strassenrand ist ein Bogen mit dem kleinen Radius r. Der äussere Strassenrand entspricht einem Kreisbogen mit Radius R. Die Differenz der beiden Radien ergibt die Strassenbreite.

Für die beiden Bogenlängen des inneren Strassenrands (b_i) und des äusseren Strassenrands (b_a) gilt:

    \[ b_i = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r_i \]

    \[ b_a = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r_a \]

Wir können in beiden Fällen nach dem entsprechenden Radius auflösen:

    \[ r_i = b_i \cdot \frac{360°}{\alpha 2 \pi} = 11.8\;\text{m} \cdot \frac{360°}{45° \cdot 2 \pi} \approx 15\;\text{m} \]

    \[ r_a = b_a \cdot \frac{360°}{\alpha 2 \pi} = 18.1\;\text{m} \cdot \frac{360°}{45° \cdot 2 \pi} \approx 23\;\text{m} \]

Damit ist die Strassenbreite:

    \[ r_a - r_i = 23\;\text{m} - 15\;\text{m} = \underline{8\;\text{m}} \]

Kreisfläche

Um die Fläche eines Kreis herzuleiten gibt es einen ziemlich einfachen, aber genialen Trick: Wenn wir den Kreis in 8 Teile schneiden und sie neu anordnen, entsteht eine «Quasi-Rechteckfläche». Die Höhe des Rechtecks ist in etwa gleich dem Radius des Kreises. Die Länge entsteht durch die Anreihung von vier «Kuchenstücken» und damit vier Achteln des Umfangs, also \pi r. Die Fläche des Rechtecks wird mit Höhe mal Länge berechnet, d.h. in diesem Fall:

    \[ A \approx r \cdot (\pi r) \]

Überzeugender wird es, wenn wir den Kreis in eine grosse Zahl n Stücke schneiden und wieder so anordnen, dass ein Quasi-Rechteck entsteht. Die Hälfte der Stücke, d.h. \frac{n}{2} Stück, erzeugen wieder eine Länge von \pi r und die Höhe beträgt immer noch r. Wir sehen, dass für n \rightarrow \infty wir ein perfektes Rechteck erhalten würden, d.h. dann hätten wir tatsächlich aus einer Kreisfläche eine gleich grosse Rechteckfläche gemacht!

Die Kreisfläche entspricht dem Quadrat des Radius mal \pi:

    \[ A = \pi r^2 \]

Beispiel

Vergleiche die Fläche des Kreises mit derjenigen des umschriebenen (grösseren) Quadrats und derjenigen des eingeschriebenen (kleineren) Quadrats und zeige damit, dass

    \[ 2 < \pi < 4 \]

Das umschriebene Quadrat hat eine Seitenlänge von 2r. Damit ist die Fläche:

    \[ A_u = (2r)^2 = 4r^2 \]

Das eingeschriebene Quadrat hat eine Diagonale von 2r, d.h. die Seitenlänge ist um den Faktor \sqrt{2} kleiner. Damit erhalten wir für die Fläche:

    \[ A_i = \Big( \frac{2r}{\sqrt{2}} \Big)^2 = \frac{4r^2}{2} = 2r^2 \]

Die Kreisfläche beträgt ja A = \pi r^2. Wenn wir jetzt die Flächen vergleichen, gilt:

    \[ A_i < A < A_u \]

    \[ 2r^2 < \pi r^2 < 4 r^2 \]

Wenn die Ungleichung durch r^2 teilen, erhalten wir:

    \[ 2 < \pi < 4 \]

Kreissektor

Kreissegment

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