Prinzip von Cavalieri

Du kannst dich leicht davon überzeugen, dass ein gerades und ein gleich hohes, aber schräges Prisma das gleiche Volumen haben, wenn du dir vorstellst, ein Prisma mit einem Stapel Notizzettel «gebaut» zu haben. Alle Notizzettel haben z.B. die gleiche quadratische Grundfläche. Sie haben auch eine sehr kleine, aber nicht verschwindende Dicke. Wenn wir genug viele solcher Zettel aufeinanderstapeln, entsteht unser Prisma. Bei quadratischen Zetteln entsteht mit einem geraden Stapel ein Quader.

Wir können den gleichen Stapel aber auch anschrägen. Da die Anzahl Zettel gleich ist, muss die Menge an Papier und damit das Volumen auch gleich geblieben sein. Das schräge Prisma hat deshalb das gleiche Volumen wie das gerade Prisma, solange wir die gleiche Höhe und die gleichen Art Zettel (gleiche Grundfläche) verwenden.

Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) war ein italienischer Mathematiker und Astronom. Er stellte das Prinzip auf, das besagt, dass zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn sie aus zwei «Stapeln» von gleichen Flächen aufgebaut sind, die selber eine kleine Dicke haben. Die Form dieser Stapel hat keinen Einfluss auf das Volumen. Es ist vielmehr das gleiche Volumen, das von einer in eine andere Form «verschoben» worden ist.

Wir können das Prinzip von Cavalieri auch etwas verallgemeinern. Statt von «Zetteln», regen wir von Schnitten mit einer sehr dünnen, aber nicht verschwindenden Dicke. Diese Schnitte müssen nicht unbedingt identisch sein. Wir verlangen aber, dass sie in beiden Körpern die gleiche Abfolge darstellen. Auf diese Weise lassen sich die Volumina von anderen Körpern, z.B. Pyramiden und Kegeln erklären, deren Schnitte auf unterschiedlichen Lagen, unterschiedlich gross sind. Die Schnitte haben aber bei einem geraden oder einem schrägen Kegel immer die gleiche Abfolge und sind deshalb auf der jeweiligen Lage gleich.

Du erinnerst dich vielleicht an die Regel, dass Dreiecke die gleiche Fläche haben, solange sie die gleiche Grundseite und die gleiche Höhe haben. Wir können uns davon überzeugen, indem wir die Höhe einzeichnen und die eine Teilfläche als die Hälfte des linken Rechtecks anschauen, dessen Fläche mit der Grundseite und der Höhe berechnet werden kann:

Analog ist die Fläche des rechten Teils die Hälfte des Rechtecks mit der Grundseite und der Höhe :

Das Dreieck hat also die Fläche und somit:

Die Fläche des Dreiecks ist nur abhängig von der Grundfläche und der Höhe , nicht aber vom Winkel! Das ist nichts anderes als das Prinzip von Cavalieri! Wir können uns das Dreieck als einen Stapel von Linien vorstellen, die eine ganz bestimmte Abfolge haben. Je nach «Verschiebung» entstehen im Dreieck andere Winkel. Die Fläche bleibt aber die Gleiche, da Grundseite (und die darauf basierende Abfolge im Stapel) und die Höhe sich nicht verändert haben.