Archimedische Körper

Archimedes von Syrakus (287 v. Chr. – 212 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur und gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Antike. Er kannte die platonischen Körper und überlegte sich, was mit den platonischen Körpern passieren würde, wenn man ihnen die Ecken abschneiden würde. Natürlich sollte die Symmetrie weiterhin gewahrt bleiben, d.h. die Ecken würden so abgeschnitten, dass die Kanten alle gleich lang wären. Die ursprünglichen Seitenflächen würden eine neue Form erhalten und die abgeschnittenen Ecken würden ebenfalls regelmässige Seitenflächen bilden, die jedoch nicht gleich sein müssen, wie die ursprünglichen Seitenflächen.

Wenn wir beispielsweise beim Hexaeder (Würfel) die acht Ecken abschneiden, entsteht bei den Seitenflächen aus dem Quadrat ein Achteck. Die Ecken selbst sind gleichseitige Dreiecke. Den Körper, den wir damit erhalten hat somit:

• 6 Seitenflächen als Achtecke
• 8 Seitenflächen als Dreiecke

Das gibt total 14 Seitenflächen.

Da die ursprünglichen acht Körperecken des Würfels je mit einem Dreieck ersetzt wurden und jedes Dreieck drei Ecken hat, beträgt die Anzahl Körperecken jetzt:

Die ursprünglichen 12 Kanten haben wir immer noch, sie sind nur kürzer geworden. In jeder ursprünglichen Ecke (8 Stück) sind durch den Schnitt drei neue Kanten entstanden, d.h. wir haben neue Kanten. Unser neuer Körper hat deshalb neu: 

Ist Eulers Polyedersatz erfüllt? Tatsächlich! 

Der neue Körper heisst übrigens Hexaederstumpf, weil wir dem Hexaeder die «scharfen» Ecken abgestumpft haben. Er ist ein archimedischer Körper, von denen es, je nach Zählweise, 13 oder 15 Stück gibt.

Beispiel

Überprüfe den Euler’schen Polyedersatz für den Ikosaederstumpf (Fussballkörper).

Das Ikosaeder hat 20 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen. An einer Körperecke stossen fünf Dreiecke zusammen. Wenn wir also hier etwas abschneiden, entsteht ein neues Fünfeck. Dreieck, die an ihren drei Ecken abgeschnitten werden, werden zu Sechsecken. Aus den 20 Dreiecken entstehen deshalb 20 Sechsecke und aus den 12 Körperecken entstehen 12 Fünfecke. Wir haben deshalb:

Die ursprüngliche Zahl der Ecken von 12 wurde verfünffacht, da jede Ecke zu einem Fünfeck wurde:

Die ursprünglichen 30 Kanten sind geblieben und wurden verkürzt. Zu jeder der 12 Ecken sind fünf Kanten hinzugekommen, d.h. wir haben:

Damit haben wir alles für den Euler’schen Polyedersatz:

Stimmt! Auf diese Weise kam der klassische Fussball auf die unverkennbare Kombination von schwarzen Fünfecken und weissen Sechsecken.