Lotfusspunkt

vonDavid John Brunner überarbeitet am

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Unter dem Lotfusspunkt verstehen wir den Punkt auf einer Ebene, in welchem das Lot auf der Ebene auftrifft. Im dargestellten Beispiel ist geht die Lotgerade l durch den Punkt P und trifft auf die Ebene im Punkt Q auf, d.h. Q ist der Lotfusspunkt von P auf E.

Beispiel

Finde den Lotfusspunkt Q von P(2,3,2) auf E, d.h. den Punkt, der durch das Lot von P auf E entsteht.

    \[ E \colon \;\; 2x - y - 3z = 9 \]

Zuerst brauchen wir die Gleichung der Lotgeraden, d.h. der Geraden, die durch P geht und die Ebene E senkrecht durchstösst. Den Stützpunkt der Geraden haben wir natürlich mit P gegeben, denn der muss ja auf der Lotgeraden sein. Die Richtung der Lotgeraden ist auch einfach zu ermitteln. Sie muss senkrecht zur Ebene E stehen und diese Richtung erhalten wir mit der Normalvektor \vec{n}.

Die Koordinatenform der Ebene verrät uns den Normalvektor direkt, denn wir erinnern uns an die Normalform einer Ebene, die war:

    \[ E: \quad n_x \cdot (x - A_x) + n_y \cdot (y - A_y) + n_z \cdot (z - A_z) = 0 \]

Wenn wir die Klammern ausmultiplizieren, erhalten wir:

    \[ n_x \cdot x + n_y \cdot y + n_z \cdot z \;\; = \;\; n_x A_x + n_y A_y + n_z A_z \]

Die linke Seite zeigt uns, dass die Koeffizienten vor dem x, dem y und dem z gleich auch die Vektorkomponenten des Normalvektors sind, d.h. hier:

    \[ \vec{n} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Wir haben somit eine Parameterform der Lotgeraden l:

    \[ l \colon \;\; \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Da die Ebene nicht in Parameterform vorliegt, können wir die beiden Gleichungen nicht gleichsetzen. Wir wählen aber das Einsetzverfahren und setzen die drei Gleichungen für die Komponenten x, y und z aus der Lotgeraden in die Ebenengleichung:

    \[ \begin{array}{cc} x = 2 + 2s \\ y = 3 - s \\ z = 2 - 3s \end{array} \]

    \[ 2x - y - 3z \;\; = \;\; 2 \cdot (2 + 2s) - (3 - s) - 3 \cdot (2 - 3s) \;\; = \;\; 9 \]

    \[ 4 + 4s - 3 + s - 6 + 9s \;\; = \;\; 9 \]

Das ist eine einfache Gleichung mit einer Unbekannten s. Wir erhalten: s=1

Den Lotfusspunkt haben wir damit gefunden. Wir nehmen die Lotgerade und setzen s=1:

    \[ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 \\ 3-1 \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Der Punkt auf l mit s=1 ist der Lotfusspunkt und seine Koordinaten sind: \underline{Q(4,2,-1)}

Der Lotfusspunkt Q eines Punkts P, der ausserhalb der Ebene E liegt, ist der Durchstosspunkt der Lotgeraden l durch E. Die Lotgerade verläuft durch den Punkt P und hat den Normalvektor von E als Richtungsvektor.

    \[ P \in l, \;\; P \notin E, \;\; l \perp E \quad \rightarrow \quad l \cap E = \big\{Q\big\} \]

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Aufgabensammlung

Gleichung einer Ebene (5049)

6 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Parameter-, Normal- und Koordinatenform aufstellen
  • Aus Punkt und Gerade eine Ebene aufspannen
  • Koordinatenform einer Ebene aufgrund eines Bilds
  • Parameterform aufgrund von zwei Geraden aufstellen
  • Gerade parallel verschieben in eine Ebene
  • Ebene als Punktmenge finden

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