Ebene und Ebene

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Zwei Ebenen werden sich im Normalfall in einer Geraden schneiden. Sie können aber auch parallel sein oder sogar identisch, d.h. aufeinander liegen.

Wenn zwei Ebenen parallel sind, reicht es aus, den Abstand eines Punkt auf der einen Ebene mit der zweiten Ebene zu berechnen. Damit erhalten wir automatischen den Abstand der beiden Ebenen.

Für den etwas interessanteren Fall, in welchem sich zwei Ebenen schneiden, schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Im allgemeinen Fall schneiden sich zwei Ebenen E_1 und E_2 in einer Schnittgeraden g:

    \[ E_1 \cap E_2 = g \]

In speziellen Fällen sind die Ebenen parallel (E_1 \cap E_2 = \{ \; \}) oder identisch (E_1 = E_2), d.h. ihre Schnittmenge ist gleich der Ebene (E_1 \cap E_2 = E_1 = E_2).

Beispiel

Finde die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E_1 und E_2.

    \[ E_1 \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

    \[ E_2 \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Wir suchen die Schnittmenge der beiden Ebenen, d.h. diejenigen Punkte, die von beiden Ebenengleichungen gleichzeitig erfüllt werden. Dazu setzen wir die beiden Ebenengleichungen gleich:

    \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

    \[ \stackrel{!}{=} \;\; \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Nach etwas Umformen erhalten wir ein Gleichungssystem mit den vier Unbekannten \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 und \lambda_4. Die vierte Unbekannte \lambda_4 haben wir auf die rechte Seite genommen, denn eigentlich reichen uns drei Unbekannte für ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen:

    \[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 2 \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_3 \;\; = \;\; 2 \lambda_4 - 1 \\ 4 \lambda_2 + 2 \lambda_3 \;\; = \;\; \lambda_4 + 1 \\ -\lambda_3 \;\; = \;\; 0 \\ \end{array} \end{cases} \]

Wir werden die Unbekannte \lambda_4 als Parameter behandeln und nicht mehr als Unbekannte, d.h. wir kennen den Wert von \lambda_4 nicht, müssen ihn aber auch nicht kennen. Es wird die «Stellschraube» sein, die wir für die Gleichung der Geraden brauchen werden. Um dies zu verdeutlichen, taufen wir \lambda_4 in s um:

    \[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 2 \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_3 \;\; = \;\; 2 s - 1 \\ 4 \lambda_2 + 2 \lambda_3 \;\; = \;\; s + 1 \\ -\lambda_3 \;\; = \;\; 0 \\ \end{array} \end{cases} \]

Die erste Lösung ist offensichtlich: \underline{\lambda_3=0}

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir: \underline{\lambda_2=\frac{1}{4}s+\frac{1}{4}}

Die Lösung für \lambda_1 erhalten wir, indem wir aus den ersten beiden Gleichungen ein Gleichungssystem bilden und dieses mit dem Gauss’schen Additionsverfahren lösen:

    \[ \begin{cases} 4 \lambda_2 \;\; = \;\; s + 1 \\ 2 \lambda_1 + \lambda_2 \;\; = \;\; 2s-1 \end{cases} \]

    \[ \begin{array}{cc} 4 \lambda_2 \;\; = \;\; s + 1 \\ -8 \lambda_1 - 4 \lambda_2 \;\; = \;\; -8s + 4 \\ \hline -8 \lambda_1 \;\; = \;\; -7s + 5 \end{array} \]

Das gibt uns die Lösung:

    \[ \underline{\lambda_1=\frac{7}{8}s-\frac{5}{8}} \]

Wir haben jetzt die beiden Ebenengleichungen gleichgesetzt und die Lösungen für die drei Unbekannten \lambda_1, \lambda_2 und \lambda_3 gefunden. Für die Beschreibung der Schnittmenge, können wir jetzt eine der beiden Ebenengleichungen nehmen und unsere Lösungen für die \lambda_i einsetzen. Am einfachsten ist die Gleichung von E_2, wo wir \lambda_3=0 und \lambda_4=s einsetzen: 

    \[ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \cancel{0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Das ist bereits schon die Parameterform der Schnittgeraden g beider Ebenen:

    \[ g \colon \;\; \underline{\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} \]

Rein aus Neugierde schauen wir mal, ob es auch mit der Gleichung von E_1 gehen würde. Hier setzen wir die Lösungen \;\lambda_1=\frac{7}{8}s-\frac{5}{8}\; und \;\lambda_2=\frac{1}{4}s+\frac{1}{4}\; ein:

    \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \Big(\frac{7}{8}s-\frac{5}{8}\Big) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \Big(\frac{1}{4}s+\frac{1}{4}\Big) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Diese Vektorgleichung kann als drei Gleichungen für die drei Koordinaten x, y und z aufgeschrieben werden:

    \[ \begin{cases} x: \quad 1 + \frac{7}{4} s - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} s + \frac{1}{4} \; = \; 2s \\ y: \quad 1 + s + 1 \; = \; s + 2 \\ z: \quad 0 \; = \; 0 \end{cases} \]

Damit haben wir eigentlich folgendes erhalten, was wieder der gleichen Geradengleichung entspricht:

    \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \;\; = \;\; \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Beispiel

Finde die Gleichung der Schnittgeraden g, die durch den Schnitt beider Ebenen E_1 und E_2 entsteht:

    \[ E_1 \colon \;\; x + y + z = 1 \]

    \[ E_2 \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Eine Möglichkeit ist, die beiden Gleichungen gleichzusetzen. Das tun wir, indem wir aus der Vektorgleichung von E_2 die Ausdrücke für x, y und z in die Gleichung von E_1 einsetzen:

    \[ \begin{array}{ll} x = \lambda_3 + 2 \lambda_4 \\ y = 2 - 2 \lambda_3 + \lambda_4 \\ z = \lambda_3 \end{array} \]

    \[ x + y + z = (\lambda_3 + 2 \lambda_4) + (2 - 2 \lambda_3 + \lambda_4) + (\lambda_3) \;\; = \;\; 1 \]

    \[ \cancel{\lambda_3} + 2 \lambda_4 + 2 - \cancel{2 \lambda_3} + \lambda_4 + \cancel{\lambda_3} \;\; = \;\; 1 \]

    \[ 3\lambda_4 = -1 \quad \rightarrow \quad \lambda_4 = -\frac{1}{3} \]

 

Wenn wir das oben wieder einsetzen und \lambda_3 zu unserem Parameter machen, d.h. \lambda_3=s, erhalten wir die Geradengleichung mit dem Parameter s:

    \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \;\; = \;\; \begin{pmatrix} s + 2 \cdot \big(-\frac{1}{3}\big) \\ 2-2s+\big(-\frac{1}{3}\big) \\ s \end{pmatrix} = \underline{\begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{5}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}} \]

Beispiel

Finde den Richtungsvektor der Schnittgeraden von E_1 und E_2 (aus dem ersten Beispiel), indem du zwei Normalvektoren findest und für diese dann ein Vektorprodukt bildest.

    \[ E_1 \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

    \[ E_2 \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Den Normalvektor erhalten wir, indem wir die beiden Richtungsvektoren a_1 und a_2, die die Ebene aufspannen, in einem Vektorprodukt mit einander multiplizieren. Das Resultat steht ja senkrecht auf beiden erzeugenden Vektoren und damit auf der Ebene.

    \[ \vec{n_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} \]

    \[ \vec{n_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Wir haben jetzt zwei Vektoren, die normal auf den beiden sich schneidenden Ebenen liegen. Wenn wir diese beiden Vektoren im Vektorprodukt mit einander multiplizieren, kriegen wir einen Vektor, der senkrecht auf diesen beiden Vektoren liegt. Dieser Vektor zeigt in Richtung der Schnittgeraden.

    \[ \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \underline{\begin{pmatrix} -11 \\ 12 \\ -7 \end{pmatrix}} \]

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