Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Wir wissen, dass zwei Dreieck ähnlich sind, wenn ihre drei Winkel übereinstimmen und wenn ihre Seiten proportional sind. Oft ist es aber so, dass wir nicht diese ganzen Informationen zur Verfügung haben und wir trotzdem eine Aussage machen können, ob zwei Dreiecke ähnlich sind oder nicht.

W:W:W-Satz

Der erste Ähnlichkeitssatz ist nach den drei Winkeln benannt. Wir werden sehen, dass es ausreicht, dass zwei Winkel pro Dreieck gleich sein müssen, um die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke zu bestimmen. Trotzdem wird der Satz mit 3 «W»s bezeichnet.

Beispiel

Zeige mit Hilfe des W:W:W-Satzes, dass die beiden Dreiecke und geometrisch ähnlich sind.

Im linken Dreieck sind die Winkel und Scheitelwinkel und somit sind sie gleich:

Wenn die Seiten und parallel zu einander sind, dann schliessen sie mit bzw. den gleichen Winkel bzw. sein, d.h. es gilt:

Beide Dreiecke haben je zwei Winkel gemeinsam. Aus der Winkelsumme folgt, dass auch der dritte Winkel gleich sein muss:

Somit haben wir für beide Dreiecke die gleichen drei Winkel. Die beiden Dreiecke sind unterschiedlich gross, aber sie sind geometrisch ähnlich.

S:S:S-Satz

Wir nehmen das Verhältnis von zwei entsprechenden Seiten. Wenn dieses Verhältnis gleich ist wie das Verhältnis der beiden anderen Seitenpaare, dann sind die beiden Dreiecke ähnlich.

Beispiel

Beweise, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind.

Wir schauen uns die Verhältnisse der Strecken auf den beiden Strahlen an. Den ersten Bruch erweitern wir mit 10 und kürzen dann mit 8:

Mit dem Zweiten Strahlensatz wissen wir, dass auch

Damit hätten wir mit dem SSS-Satz nachgewiesen, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind.

S:W:S-Satz

Wenn wir nur zwei Seitenverhältnisse haben, brauchen wir eine dritte Information, um über die Ähnlichkeit von zwei Dreiecken eine Aussage machen zu können.

Schaue dir nochmals kurz das vorige Beispiel an. Dort hatten wir auch nur zwei Seitenverhältnisse gegeben. Allerdings gab uns die Skizze noch eine zusätzliche Information, nämlich dass der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Strahlen gleich ist. Damit hatten wir eigentlich eine SWS-Aufgabe.

Beispiel

Zeige mit einer Skizze, dass nebst den zwei gleichen Seitenverhältnissen, zusätzlich der eingeschlossene Winkel gleich sein muss.

Wir nehmen wieder die beiden Seitenverhältnisse vom obigen Beispiel:

Für das grössere Dreieck müssen wir demnach eine Seite mit Länge 5.6 haben und die Seitenverhältnisse sind erfüllt. Allerdings liegen alle möglichen Lösungen des einen Eckpunkts auf einem Kreis mit Radius 5.6, solange wir den Winkel nicht bestimmen. Für irgendeinen (falschen) Zwischenwinkel kriegen wir den falschen Punkt .

Die richtige Lösung ist das gestrichelte Dreieck. Das wäre geometrisch ähnlich. Es reicht aber nicht, wenn wir statt dem Zwischenwinkel irgendeinen Winkel, z.B. gleich lassen. Mit gleichem haben wir zwar eine zu parallele Seite (gestrichelt), aber sie hat zwei Lösungen und . Mit S:S:W statt S:W:S wären wir damit noch nicht bei einer eindeutigen Lösung.

S:S:W-Satz

Wenn wir nur zwei Seitenverhältnisse haben, können wir die dritte Information auch vom Winkel kriegen, der \textbf{gegenüber der grösseren Seite} ist.

In der nachfolgenden Grafik wird gezeigt, dass ein gleicher Winkel gegenüber einer kürzeren Seite zu mehreren Lösungen führt (links).

Ist der Winkel aber gegenüber der grösseren Seite (rechts), gibt es nur eine eindeutige Lösung. Beachte, dass der andere Schnittpunkt des Kreisbogens mit der gestrichelten Linie weiter oben zwar zu einem anderen Dreieck führt, das aber keine gültige Lösung darstellt. Nehmen wir nämlich den anderen Punkt, so wird die mit dem Radius 7 abgetragene Seite nicht zu einer Seite , sondern zu einer Seite , die nichts mit der Länge 7 zu tun hat.