Im rechtwinkligen Dreieck

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Die trigonometrischen Funktionen sind fast wie ein Wundermittel für Dreiecke. Man kann mit ihnen fast alle geometrischen Probleme lösen bzw. berechnen. Wir schauen uns zuerst die Situation im rechtwinkligen Dreieck an, wo sie am einfachsten zu erklären sind. Es ist wichtig, dass wir diese Anwendung im rechtwinkligen Dreieck gut verstehen und sie uns auch gut einprägen. Wir werden später überall nach einem rechtwinkligen Dreieck suchen oder ein solches zeichnen und fast jedes geometrische Problem auf diese Art lösen.

Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heisst Hypotenuse. Sie steht dem rechten Winkel gegenüber. Bei den beiden kürzeren Katheten müssen wir eine Wahl treffen. Wenn wir den Winkel \alpha im Bild wählen, dann ist die Kathete, die am Winkel ist, die Ankathete. Die andere Kathete ist dem Winkel \alpha gegenüber und heisst deshalb Gegenkathete. Hätten wir den anderen Winkel gewählt, hätten die beiden Katheten ihren Namen getauscht. Die Hypotenuse ist von der Wahl des Winkels nicht abhängig. Sie ist so oder so die Grösste.

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen können wir jetzt die Längen der Dreiecksseiten a,b und c mit dem Winkel \beta in Beziehung setzen:

Trigonometrische Funktionen:

Sinus:

    \[ \sin(\alpha)=\frac{b}{c} \]

Kosinus

    \[ \cos(\alpha)=\frac{a}{c} \]

Tangens:

    \[ \tan(\alpha)=\frac{b}{a} \]

Ankathete a (Kathete am Winkel)

Gegenkathete b (Kathete gegenüber dem Winkel)

Hypotenuse c (längste Seite im Dreieck, gegenüber dem rechten Winkel)

Teilen wir die Gegenkathete b durch die Hypotenuse c, entspricht das dem Sinus des Winkels \alpha. Tun wir das Gleiche, jedoch mit der Ankathete, so erhalten wir den Kosinus von \alpha. Wir können uns das so merken: Sinus und Kosinus haben beide die Hypotenuse im Nenner. Der Sinus bringt die Gegenkathete in den Bruch, der Kosinus die Ankathete. Wenn wir die beiden Katheten in Beziehung setzen, erhalten wir den Tangens des Winkels \alpha.

Die Bezeichnungen der Seiten und die trigonometrischen Funktionen musst du in- und auswendig kennen. Präg dir das Bild mit dem Dreieck ein, leg dann das Script auf die Seite und versuche es aus dem Kopf wieder hinzuzeichnen. Am besten jeden Morgen einmal, bis es in deinem Gedächtnis eingebrannt ist. Es lohnt sich!

Beispiel

Du stehst genau 1 km vom Eiffelturm entfernt. Du richtest ein Vermessungsgerät auf die Spitze des Eiffelturms und misst einen Winkel von 18° gegenüber der Horizontalen. Wie hoch ist der Eiffelturm?

Wir benutzen das Bild des rechtwinkligen Dreiecks in unserem Kopf, weil wir es schon auswendig gelernt haben (!). Die Ankathete misst 1’000 m. Die gesuchte Höhe des Turms entspricht der Länge der Gegenkathete. Wir nehmen deshalb den Tangens und lösen die Gleichung nach der Unbekannten b auf, indem wir mit a multiplizieren:

    \[ \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \]

    \[ b = a \cdot \tan(\alpha) = 1000 \text{m} \cdot \tan(18°) \]

    \[ = 1000 \text{m} \cdot 0.32492... \approx \underline{325 \text{m}} \]

Lehrer für Physik und Mathematik, Zürich | Mehr erfahren

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