Arkusfunktionen

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Arkussinus und Arkuskosinus

Wir betrachten nun die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Sie sind v.a. dann nützlich, wenn wir eine einfache trigonometrische Gleichungen zu lösen haben, z.B:

    \[ \sin(x) = 1 \]

Wir erinnern uns an die einführende Funktionentheorie, nach welcher wir der Funktion einen Input geben und sie uns einen Output herausgibt. Der Input wird Argument, der Output wird Funktionswert genannt. In unserem Fall erhält die Funktion Sinus das Argument x und gibt den Funktionswert eins heraus.

Die Umkehrfunktion des Sinus macht genau das Umgekehrte: Wir geben ihr als Input die eins und sie gibt uns als Funktionswert wieder x heraus. x ist unsere Unbekannte, somit ist es genau, was wir brauchen. Diese Umkehrfunktion heisst Arkussinus:

    \[ x = \arcsin(1) \]

Auf dem Taschenrechner und auch in vielen Büchern wird statt \arcsin die Schreibweise \sin^{-1} benutzt. In diesem Fall schreiben wir:

    \[ x = \sin^{-1}(1) \]

Diese Schreibweise birgt aber ein Problem, das wir mit \arcsin nicht haben. Wir erinnern uns, dass bei Funktionen die Schreibweise mit dem Exponenten -1 nichts mit einer Potenz zu tun hat, sondern eben die Umkehrfunktion bezeichnen soll.

    \[ \sin^{-1}(1) \neq \frac{1}{\sin(1)} \quad \quad \quad f^{-1}(y) \neq \frac{1}{f(y)} \]

Zurück zu unserer Gleichung. Welches Argument x ergibt im Sinus den Wert 1? Als Erstes sollte uns \frac{\pi}{2} bzw. 90° einfallen. Tatsächlich ist das die Lösung. Ist es die Einzige Lösung?

Wie steht es mit \frac{5\pi}{2} bzw. 450°? Wenn wir diese Werte in die Sinusfunktion als Argument geben, dann kriegen wir tatsächlich 1 und hätten damit die Gleichung erfüllt. Das ist richtig. Allerdings wird uns die Arkussinus-Funktion nie die Lösung \frac{5\pi}{2} herausgeben, denn der Funktionswert (Output) einer Funktion sollte immer eindeutig definiert sein. Der Output ist für das Argument 1 definiert bei \frac{\pi}{2}.

Die Arkussinus-Funktion ist limitiert auf das Intervall [-1,1] und gibt Funktionswerte heraus im Intervall [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].

Für die Arkuskosinus-Funktion läuft das genau gleich. Sie nimmt ebenfalls Argumente aus dem Intervall [-1,1] auf und gibt aber Funktionswerte nur im Intervall [0,\pi] heraus. In der folgenden Abbildung sehen wir den Verlauf der Arkussinus- (grün) und Arkuskosinus-Funktionen (blau).

Eigenschaften der Arkussinus-Funktion:

  • steigt von -\frac{\pi}{2} bis +\frac{\pi}{2} für x=-1 bis x=+1 (streng monoton steigend)
  • hat einen Null-Durchgang bei 0
  • Eingeschränkter Definitionsbereich: \boldsymbol{D} = \lbrack-1, +1\rbrack
  • Eingeschränkter Wertebereich: \boldsymbol{W} = \lbrack-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}\rbrack
  • ist eine ungerade Funktion: \arcsin(y)=-\arcsin(-y)

Eigenschaften der Arkuskosinus-Funktion:

  • sinkt von \pi bis 0 für x=-1 bis x=+1 (streng monoton fallend)
  • Eingeschränkter Definitionsbereich: \boldsymbol{D} = \lbrack-1, +1\rbrack
  • Eingeschränkter Wertebereich: \boldsymbol{W} = \lbrack 0, +\pi \rbrack (ist immer positiv)

Beispiel

Löse die folgende Gleichung

    \[ \sin(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Wir stecken die linke und die rechte Seite der Gleichung in die Arkussinus-Funktion

    \[ \arcsin\Bigl(\sin(x)\Bigr)=\arcsin\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) \]

Auf linken Seite «füttern» wir die Sinus-Funktion mit x und das, was sie «ausspuckt»» füttern wir wieder der Umkehrfunktion, so dass wir den ursprünglichen Input, nämlich x wieder kriegen. Anders herum: Wenn man die Funktion und dann die Umkehrfunktion nacheinander ausführt, ist man wieder genau gleich weit:

    \[ x = \arcsin\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) \]

Wir können das in den Taschenrechner eingeben oder wir erinnern uns, dass \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}.

    \[ x = \frac{\pi}{4} \]

Arkustangens

Für die Arkustangens-Funktion wurde nur ein Ast der Tangensfunktion umgekehrt. Dieser eine Ast ist auf dem Definitionsbereich \lbrack -\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2} \rbrack eingeschränkt.

Von der Tangens-Funktion wissen wir:

    \[ \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \]

Somit erwarten wir für die Umkehrfunktion, dem Arkustangens:

    \[ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \]

Eigenschaften der Arkustangens-Funktion:

  • ist streng monoton steigend mit dem eingeschränkten Wertebereich: \boldsymbol{W} = \lbrack-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}\rbrack
  • ist für alle reellen Werte von x definiert, d.h. \boldsymbol{D} = \mathbb{R}
  • hat einen Null-Durchgang bei 0
  • ist eine ungerade Funktion: \arctan(y)=-\arctan(-y)

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David John Brunner

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