Wir werden hier nur die wichtigsten Formeln beim Rechnen mit trigonometrischen Funktionen kennenlernen. Eine Formel werden wir auch herleiten. Sie ist sehr einfach und kommt immer wieder vor. Wir sollten deshalb unbedingt auswendig lernen.

Sicher hast Du noch das rechtwinklige Dreieck im Kopf, das wir ganz am Anfang angeschaut hatten. Wir hatten dort den Sinus und den Kosinus definiert:

$\sin(\alpha)=\frac{b}{c} \qquad \text{und} \qquad \cos(\alpha)=\frac{a}{c}$

Dabei war $a$ die Ankathete zum Winkel $\alpha$ , $b$ war die Gegenkathete und $c$ die Hypotenuse. Wenn wir jetzt die Quadrate der beiden Funktionen addieren, kriegen wir:

$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\Bigl (\frac{b}{c} \Bigr)^2 + \Bigl (\frac{a}{c} \Bigr)^2 = \frac{b^2}{c^2} +\frac{a^2}{c^2}$

Jetzt klammern wir $\frac{1}{c^2}$ aus und benutzen den Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$

$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\frac{1}{c^2} \cdot (b^2 + a^2) = \frac{1}{\cancel{c^2}} \cdot \cancel{c^2} = 1$

Somit gilt immer, d.h. für jeden Winkel $\alpha$ :

$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$

Die beiden anderen Summenformeln kommen jetzt ohne Herleitung. Für sie benutzen wir eine kompakte Schreibweise für die Vorzeichen. Aus den folgenden beiden Gleichungen…

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)$

…machen wir in einer Zeile:

$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)$

Statt die Gleichung zweimal aufzuschreiben (einmal für $+$ und einmal für $-$ ), wird sie nur einmal geschrieben. Die Gleichung wird entweder mit allen oberen Zeichen oder mit allen unteren Zeichen benutzt.

Additionstheoreme der Trigonometrie:

$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$

$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha\pm\beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)$

Beispiel

Zeige, dass $\;\; \sin(x) = \cos(x-\frac{\pi}{2})\;\;$ gilt.

Wir benutzen das Additionstheorem für den Kosinus mit den unteren Vorzeichen:

$\cos(x-\frac{\pi}{2}) = \cos(x) \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(x) \cdot \sin(\frac{\pi}{2})$

Jetzt setzen wir die Werte für $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ und $\sin(\frac{\pi}{2})=1$ ein:

$\cos(x-\frac{\pi}{2}) = \cos(x) \cdot 0 + \sin(x) \cdot 1 = \sin(x)$

Damit ist gezeigt, dass der nach rechts verschobene Kosinus dem Sinus entspricht.

Beispiel

Zeige, dass $\;\; \sin^2(x) = \frac{1}{2}\cdot\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\;\;$ gilt.

Wir suchen eine Formel, in welcher $\sin^2(x)$ vorkommt. Das Additionstheorem für den Kosinus hat diesen Term, sofern $\alpha=\beta=x$ :

$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)$

$\cos(x + x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$

Mit der bekannten Formel $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ ersetzen wir $\cos^2(x)$ mit $\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)$ :

$\cos(2x) = \bigl(1-\sin^2(x)\bigr)- \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)$

Wir addieren $2\sin(x)^2$ und subtrahieren $\cos(2x)$ :

$2\sin^2(x) = 1-\cos(2x)$

$\sin^2(x) = \frac{1}{2}\cdot\bigl(1-\cos(2x)\bigr)$

Im rechtwinkligen Dreieck

VonDavid John Brunner 3. Januar 202330. Januar 2023

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Anwendungen Integrale

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Trigonometrische Funktionen

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Brüche

Grösster gemeinsamer Teiler (ggT)

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Primteiler von Zahlen Ich habe mir das immer ein bisschen so vorgestellt: Zahlen bestehen aus Primteilern, wie Moleküle aus Atomen bestehen. Die Primteiler sind die Bausteine der Zahl. Sie selber sind nicht weiter teilbar. Wenn eine Zahl aus nur einem einzigen Primteiler besteht, d.h. selber nicht weiter teilbar ist (wie z.B. Edelgase, die aus Atomen…

Brüche

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VonDavid John Brunner 3. Januar 202330. Januar 2023

Erweitern Im folgenden Beispiel erhalten wir gleichwertige Brüche, indem wir von links nach rechts den Zähler und den Nenner mit zwei multiplizieren. Dahinter stehen Erweiterungen, die den Wert des Bruchs nicht verändern. Erweitern ist das gleichzeitige Multiplizieren von Zähler und Nenner mit dem gleichen beliebigen Faktor. Durch das Erweitern erhalten wir…

Additionstheoreme der Trigonometrie

Beispiel

Beispiel

Ähnlichkeit

Im rechtwinkligen Dreieck

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Beispiel

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