Steigung einer linearen Funktion

Wir kennen die linearen Gleichungen schon: Sie werden als Gerade dargestellt. Eine gerade Linie kann in einem beliebigen Winkel an einer beliebigen Stelle liegen. Wir schauen uns jetzt an, wie das mathematisch formuliert werden kann. Als Erstes geht es um den Winkel bzw. um die Steigung der Gerade.

Die Steigung antwortet auf die Frage: Wie stark ändert sich der Funktionswert , wenn sich verändert? Wir lassen also um den Betrag zunehmen. Die Funktion steigt dabei um . Bei gleichem nimmt bei einer steilen Geraden sehr stark zu, bei einer relativ flachen Geraden wenig, bei einer fallenden Geraden nimmt sogar ab. Damit wäre ein Mass für die Steigung.

Wenn wir aber ein doppelt so grosses hätten, dann wäre auch doppelt so gross, obwohl die Steigung gleich geblieben ist. Wir können deshalb nicht alleine als Mass für die Steigung nehmen, sondern definieren die Steigung als die Veränderung pro Veränderung .

Wenn wir zwei Punkte und auf der Geraden haben, dann erhalten wir und indem wir die Differenz der – und -Koordinaten der beiden Punkte bilden:

   

   

In der obigen Abbildung sind drei lineare Funktionen mit drei verschiedenen Steigungen eingezeichnet. Wir starten mit der blauen Grundgleichung für lineare Funktionen:

   

 

Um die Steigung zu bestimmen, brauchen wir jetzt und .

	0	1	2
	0	1	2

Wir verändern und schauen, wie stark steigt. Wir schauen beispielsweise den Schritt von zu an:

   

 

Die Änderung der Funktionswerte beträgt ebenfalls 2, wie wir das aus der Wertetabelle ablesen können, somit ist

   

 

Die blaue Gerade hat die Steigung 1, weil die -Werte gleich stark zunehmen, wie sich die -Werte verändern.

Schauen wir uns die grüne Gerade an, so klettert sie von 0 auf 4, wenn wir von 0 auf 2 wachsen lassen. Ihre Werte sind stets doppelt so gross wie diejenigen der blauen Gerade: Sie ist die mit dem Faktor 2 vertikal gestreckte Version der Grundgleichung . Ihre Funktionsgleichung lautet deshalb:

   

 

Die rote Gerade erreicht bei einem , nur ein . Die Steigung der roten Gerade beträgt deshalb nur . Ihre Gleichung lautet:

   

 

Wir verallgemeinern die Sache jetzt für eine beliebige Gerade mit der Steigung . Die Funktionsgleichung dieser Geraden ist:

   

 

Parallel und senkrecht

Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben, so sind sie zueinander parallel. Sie haben nicht unbedingt die gleichen Punkte, aber die Änderungspaare und , die zu einander gehören, haben untereinander das gleiche Verhältnis und ergeben somit den gleichen Bruchwert .

Wenn wir eine Gerade mit Steigung um 90° im Uhrzeigersinn drehen, so erhalten wir eine Gerade , die genau senkrecht auf der ersten Gerade steht. Aus dem der ersten Gerade wird ein der zweiten Gerade. Durch Drehung des der ersten Gerade erhalten wir der zweiten Gerade:

   

   

Wenn wir das in der Gleichung der Steigung einsetzen, erhalten wir: