Identitäten des Logarithmus›

Wenn wir mit Logarithmen rechnen, lohnt es sich die Eigenschaften von Logarithmen gut zu kennen. Oft erlauben sie das Vereinfachen von scheinbar komplizierten Ausdrücken. Die folgenden Identitäten kennen wir bereits.

Die erste Identität folgt direkt daraus, dass jede Potenz hoch null eins ergibt. Die zweite Identität folgt aus dem Umstand, dass die Basis hoch eins gleich der Basis ist. Die restlichen beiden Identitäten erhalten wir, weil der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion bzw. umgekehrt ist.

Eigenschaften von Logarithmen für beliebige, jedoch zulässige Basen $a$ :

$\log_a(1) = 0$

$\log_a(a) = 1$

$log_a \big( a^x \big) = x$

$a^{(\log_a(x))} = x$

Rechnen mit dem Logarithmus

Logarithmen haben Rechenregeln, die in der Algebra sehr nützlich sind. Wir benutzen sie, sobald wir nicht nur ein einfaches Argument im Logarithmus haben, sondern eine Kombination von zwei Variablen (Produkt, Division, Potenz, Wurzel):

Rechenregeln für Logarithmen für beliebige, jedoch zulässige Basen $a$ bei kombinierten Argumenten:

$\log_a(x_1 \cdot x_2) = \log_a(x_1) + \log_a(x_2) \quad \text{(1)}$

$\log_a \Big(\frac{x_1}{x_2} \Big) = \log_a(x_1) - \log_a(x_2) \qquad \text{(2)}$

$log_a \Big( x^k \Big) = k \cdot \log_a(x) \qquad \text{(3)}$

$log_a \Big( \sqrt[n]{x} \Big) = \frac{1}{n} \cdot \log_a(x) \qquad \text{(4)}$

Die Eigenschaft (1) lässt sich leicht nachweisen. Wir betrachten dazu die Definition des Logarithmus an:

$\log_a(x_1) = b_1 \quad \Leftrightarrow \quad a^b_1 = x_1$

$\log_a(x_2) = b_2 \quad \Leftrightarrow \quad a^b_2 = x_2$

Nun nehmen wir die beiden Definitionen von $x_1$ und $x_2$ und bilden das Produkt davon. Das Produkt von zwei Potenzen mit gleicher Basis wird gebildet, indem die beiden Exponenten addiert werden:

$x = x_1 \cdot x_2 = a^{b_1} \cdot a^{b_2} = a^{(b_1+b_2)} = a^b$

Dabei haben wir $\;x = x_1 \cdot x_2\;$ und $\;b = b_1 + b_2\;$ gesetzt. Mit $\;x = a^b\;$ gilt ja auch $\;\log_a(x) = b$ . Wir schreiben deshalb:

$\log_a(x) = \log_a(x_1 \cdot x_2) = b = b_1 + b_2$

Jetzt ersetzen wir $b_1$ und $b_2$ mit den Logarithmen aus der ersten zwei Gleichungen ( $\log_a(x_1) = b_1$ und $\log_a(x_2) = b_2$ ) und erhalten die Eigenschaft (1):

$\log_a(x_1 \cdot x_2) = b_1 + b_2$

$= \log_a(x_1) + \log_a(x_2) \quad \text{(1)}$

Für die Eigenschaft (3) stellen wir wieder den Ausdruck für die Definition des Logarithmus auf, wobei wir aber statt nur $x$ einfach $(x^k)$ verwenden. Das dürfen wir, denn für den Platzhalter $x$ kann ja irgendetwas stehen.

$\log_a \big( x^k \big) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = \big( x^k \big)$

Jetzt können wir aber $(x^k)$ auch schreiben als $(x \cdot x^{(k-1)})$ , so dass wir statt einem einfachen Argument ein Produkt haben und wir die Eigenschaft (1) benutzen können:

$\log_a \big( x^k \big) = \log_a \big( x \cdot x^{(k-1)} \big)$

$= \log_a (x) + \log_a \big( x^{(k-1)} \big)$

Mit dem $\big( x^{(k-1)} \big)$ machen wir wieder das Gleiche: Wir zerlegen es in ein Produkt und setzen es wieder in den Logarithmus ein und benützen die Eigenschaft (1):

$\big( x^{(k-1)} \big) = \big( x \cdot x^{(k-2)} \big)$

$\log_a (x) + \log_a \big( x \cdot x^{(k-2)} \big)$

$= \log_a (x) + \log_a (x) + \log_a \big( x^{(k-2)} \big)$

Wir wiederholen dieses Prozedere, bis wir keine Potenz mehr haben, d.h. schliesslich haben wir rechts $k$ Summanden:

$\log_a \big( x^k \big) = \log_a (x) + \log_a (x) + ... + \log_a (x)$

$= k \cdot \log_a (x)$

Damit haben wir die Eigenschaft (3) nachgewiesen.

Beispiel

Berechne $\lg\big(\frac{1}{100}\big)$ unter Benutzung der Eigenschaft (2) und dann nochmals mit der Eigenschaft (3).

Mit der Eigenschaft (2) erhalten wir:

$\lg\big(\frac{1}{100}\big) = \cancel{\lg(1)} - \lg(100)$

$= 0 - 2 = \underline{-2}$

Beachte, dass jeder Logarithmus, auch der Zehnerlogarithmus $\lg$ , an der Stelle $x=1$ den Wert null liefert.

Um die Eigenschaft (3) zu benützen, brauchen wir eine Potenz. Nun gilt:

$\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$

Wir schreiben deshalb:

$\lg\big(\frac{1}{100}\big) = \lg\big(10^{-2}\big) = (-2) \cdot \lg(10) = (-2) \cdot 1 = \underline{-2}$

Dabei haben wir benutzt, dass der Logarithmus von seiner Basis immer eins zurückgibt:

$\lg(10)=\log_{10}(10)=1$

Umrechnung der Basis

Soweit haben wir die Basis $a$ immer konstant gehalten. Wir lernen jetzt aber, wie wir von einer Basis $a$ zu einer anderen Basis, z.B. $e$ wechseln können.

$\log_a(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = x$

Wir nehmen die Gleichung rechts…

$a^b = x$

…und setzen sie beidseitig in den natürlichen Logarithmus. Das ist übrigens ein sehr nützlicher Trick, den wir öfters anwenden werden.

$\ln\big( a^b \big) = \ln (x)$

Jetzt benutzen wir die Eigenschaft (3):

$b \cdot \ln (a) = \ln (x)$

Schliesslich dividieren mit $\;\ln (a)\;$ und ersetzen $\;b\;$ mit $\;\log_a(x)\;$ (siehe nochmals die erste Gleichung)

$b = \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

Wir haben jetzt die Möglichkeit einen Logarithmus mit einer beliebigen Basis $a$ in zwei natürliche Logarithmen (mit Basis $e$ ) umzuwandeln. Eigentlich geht das mit jeder Basis, nicht nur $e$ , aber nehmen wir doch einfach die natürliche Basis, weil sie die Praktischste ist.

Ein Logarithmus mit einer Basis $a$ kann mit Hilfe des natürlichen Logarithmus berechnet werden:

$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

Das Gleiche ist auch mit einer anderen Basis möglich, z.B. mit der Basis $10$ :

$\log_a(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(a)}$

Eine Gleichung mit einer Exponentialfunktion, d.h. mit der Unbekannten im Exponenten, kann gelöst werden, indem der gleiche Logarithmus auf beiden Seiten genommen wird. Falls nötig wird die Exponentialfunktion in eine natürliche Exponentialfunktion umformuliert und dann der natürliche Logarithmus davon genommen.

$\begin{array}{cccr}e^x & \;\; = \;\; & c & \quad \Big \vert \ln(...) \\\ln \big( e^x \big) & \;\; = \;\; & \ln \big( c \big) & \\x \cdot \ln(e) & \;\; = \;\; & \ln \big( c \big) & \\x & \;\; = \;\; & \ln \big( c \big) & \\\end{array}$

Beispiel

Berechne die beiden folgenden Logarithmen mit dem Taschenrechner:

$\text{a)} \;\; \log_2(1'000),$

$\text{b)} \;\; \log_2 (1'000'000)$

Den Zweier-Logarithmus haben wir nicht auf unserem Taschenrechner, aber wohl den natürlichen Logarithmus. Wir wandeln deshalb den Logarithmus um mit Hilfe der eben gefundenen Formel:

$\log_2(1'000) = \frac{\ln(1'000)}{\ln(2)}$

$= \frac{6.90776}{0.69315} \approx \underline{9.966}$

$\log_2(1'000'000) = \frac{\ln(1'000'000)}{\ln(2)}$

$= \frac{13.81551}{0.69315} \approx \underline{19.931}$

Beispiel

Wie viele Jahre muss ein Anleger warten, bis seine Kapitaleinlage bei einem jährlichen Zins von $z = 2.5\%$ sich verdoppelt hat?

Wir benutzen wieder die Gleichung für das Kapital $K$ nach $x$ Jahren mit $z = 0.025$ :

$K(x)=K_0 \cdot (1+z)^x$

Da wir an einer Verdoppelung von $K(x)$ gegenüber $K_0$ interessiert sind, setzen wir:

$K(x) = 2 \cdot K_0$

Somit:

$2 \cancel{K_0} = \cancel{K_0} \cdot (1+z)^x$

$2 = 1.025^x$

Die Lösung $x$ erhalten wir mit dem Logarithmus:

$x=\log_{1.025}(2)$

$= \frac{\ln(2)}{\ln(1.025)} = 28.07$

Somit muss der Anleger etwas mehr als 28 Jahre warten.

Rechenregeln für den Logarithmus

Identitäten des Logarithmus›

Rechnen mit dem Logarithmus

Beispiel

Umrechnung der Basis

Beispiel

Beispiel

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Definitions- und Wertebereich

Kombinationen

Innere und äussere Teilung

Berechnung der physikalischen Arbeit

Achilles und die Schildkröte

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