Definition

Wir haben gesehen, dass jede Exponentialfunktion mit einer zulässigen Basis $a$ in eine natürliche Exponentialfunktion mit Basis $e$ überführt werden kann, indem wir die Unbekannte $b$ finden:

$a = e^b$

Wir können die Unbekannte $b$ aber nur mit Hilfe des sog. Logarithmus finden. Das schauen wir uns im nachfolgenden Beispiel an: Wir suchen $b$ , so dass

$e^b = 2$

Wir wissen vorerst nur, dass $b<1$ , denn $e^1=2.71828...>2$ und aber $b>0$ , denn $e^0=1<2$ , d.h. unsere Unbekannte liegt irgendwo zwischen $0$ und $1$ :

$0 < b < 1$

Die Lösung von $b$ ist der Logarithmus:

$b = \log_e(2)$

Wir müssen das wie folgt lesen: « $e$ hoch wie viel gibt $2$ ?». Die Antwort ist $b$ .

Der Logarithmus von $x$ gibt uns den Exponenten $b$ zur Basis $a$ , so dass $a^b = x$ :

$\log_a(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = x$

Die Formulierung lautet wie folgt: « $a$ hoch wie viel gibt uns das Argument $x$ ? Es ist $b$ «.

Der Logarithmus kann eine beliebige Basis (positive) $a$ haben, sofern sie die folgenden Anforderungen erfüllt, wie bei der Exponentialfunktion:

$a \in \mathbb{R}^+ , \quad a \neq 1$

Für die natürliche Basis $e$ nennen wir den Logarithmus den natürlichen Logarithmus $\log_e(x) = \ln(x)$ :

$\ln(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad e^b = x$

Oft kommt auch der sog. Zehnerlogarithmus $\log_{10}(x) = \lg(x)$ vor, dessen Basis $a=10$ ist:

$\lg(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad 10^b = x$

Die Werte des Logarithmus sind in der Regel irrational und nur mit dem Taschenrechner zu berechnen.

Beispiel

Berechne für die folgenden einfachen Logarithmen die Unbekannte $y$ ohne Taschenrechner:

$\text{a)} \;\; y = \log_2 (8), \quad \text{b)} \;\; \log_3 (y) = 3, \quad \text{c)} \;\; \log_y \Big (\frac{1}{2} \Big ) = 2$

Teilaufgabe a)

Wir benutzen wieder die Fragestellung, die den Logarithmus definiert: « $a$ hoch wie viel gibt uns das Argument $x$ ? Es ist $b$ «. Angewandt auf den ersten Logarithmus, heisst es: « $2$ hoch wie viel gibt uns das Argument $2$ ? Es ist $y$ «, d.h. wir haben eigentlich die folgende Gleichung zu lösen:

$2^y = 8$

Wir wissen natürlich, dass die Lösung $3$ ist, denn $2^3 = 8$ . Deshalb gilt: $\underline{y = 3}$

Teilaufgabe b)

Die Fragestellung heisst jetzt: « $3$ hoch wie viel gibt uns das Argument $y$ ? Es ist $3$ «

$3^3 = \underline{y = 27}$

Teilaufgabe c)

Die Fragestellung heisst jetzt: « $y$ hoch wie viel gibt uns das Argument $\frac{1}{2}$ ? Es ist $2$ «

$y^2 = \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad \underline{y = \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Logarithmus als Umkehrfunktion

Wir wissen jetzt, dass der Logarithmus eigentlich zu einer Potenz gehört:

$\log_a(x) = b \quad \Leftrightarrow \quad a^b = x$

Wenn wir die Potenz auf der rechten Seite als unsere Funktion $f$ betrachten, dann weist sie dem Argument $b$ den Funktionswert $x$ zu:

$f: \; b \mapsto x, \quad f(b) = a^b = x$

Der Logarithmus macht genau das Umgekehrte: Er weist dem Argument $x$ den Funktionswert $b$ zu, d.h. er ist die Umkehrfunktion von $f$ , also $f^{-1}$ :

$f(b) = x \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(x) = b$

$f^{-1}: \; x \mapsto b, \quad f^{-1}(x) = \log_a (x) = b$

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Allgemein gilt, dass wenn wir eine Funktion und ihre Umkehrung gleich nacheinander ausführen, erhalten wir wieder das ursprüngliche Argument:

$f(b) = f\Big( f^{-1}(x)\Big) = x$

$f^{-1}(x) = f^{-1}\Big( f(b)\Big) = b$

Das gilt jetzt auch für die Exponentialfunktion $f$ und ihre Umkehrfunktion, der Logarithmus $f^{-1}$ :

$f(b) = a^{\Big( \log_a(x)\Big)} = x$

$f^{-1}(x) = \log_a\Big( a^b \Big) = b$

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit der gleichen Basis:

$a^{\big( \log_a(x)\big)} = x$

$\log_a\big( a^b \big) = b$

Analog gilt es auch für den natürlichen Logarithmus…

$e^{\big( \ln(x)\big)} = x$

$\ln\big( e^b \big) = b$

…und für den Zehnerlogarithmus:

$10^{\big( \lg(x)\big)} = x$

$\lg\big( 10^b \big) = b$

Beispiel

Wie viele Zellteilungen braucht es, damit aus einer Zelle mindestens Tausend bzw. eine Million Zellen entstanden sind?

Es geht hier um eine Exponentialfunktion mit der Basis 2, denn Zellen verdoppeln sich bei einer Zellteilung:

$f(x) = 2^x$

Die Fragestellung der Aufgabe ist die Folgende:

$2^{x_1} \geq 1'000 \quad x_1 = ?$

$2^{x_2} \geq 1'000'000 \quad x_2 = ?$

Mit dem Logarithmus erhalten wir:

$x_1 = \log_2(1'000) = ?$

$x_2 = \log_2(1'000'000) = ?$

Der Taschenrechner liefert uns das Ergebnis. Wie das genau geht, kommt später, denn hierzu brauchen wir noch eine Eigenschaft des Logarithmus, die wir noch nicht kennen.

$x_1 = \log_2(1'000) \approx 9.966$

$x_2 = \log_2(1'000'000) \approx 19.931$

Da die Werte nahe bei 10 bzw. 20 liegen, schauen wir uns die ganzzahligen Vergleichswerte an, denn es gibt ja nur ganzzahlige Zellteilungen:

$2^{10} = 1'024 > 1'000$

$2^{20} = 1'048'576 > 1'000'000$

Damit wissen wir, dass nach __10 bzw. 20 Zellteilungen__, wir mehr als Tausend bzw. eine Million Zellen haben.

Graph des Logarithmus

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (mit der gleichen Basis) ist, erhalten wir den Graphen des Logarithmus mit einer Spiegelung an der $y=x$ -Geraden. Wir wählen die natürliche Basis $e$ :

Der Punkt $A(0,1)$ , der ja allen Exponentialfunktionen gemeinsam ist, wird zum Punkt $B(1,0)$ gespiegelt und ja, dieser ist allen Logarithmusfunktionen, ungeachtet ihrer Basis, gemeinsam. Es gilt:

$a^0 = 1 \quad \rightarrow \quad \log_a(1) = 0 \quad (\forall a \in \mathbb{R}^+, \; a \neq 1 )$

Dann sehen wir noch, dass wir negative Logarithmuswerte erhalten für kleine $x<1$ . Das ist nachvollziehbar, denn $e^b < 1$ für $b<0$ . Zum Beispiel können wir $b=-1$ setzen:

$e^{-1}=\frac{1}{e} \approx 0.3679$

Somit gilt:

$\ln(0.3679) = -1$

Je näher wir an null herankommen, desto negativer wird der Logarithmus. Beispielsweise ist $e^{-10}=\frac{1}{e^{10}} \approx 0.000'045$ und somit:

$\ln(0.000'045) = -10$

Der Logarithmus nähert sich der $y$ -Achse asymptotisch an, d.h.

$\lim_{x \rightarrow 0} \big( \ln(x)\big) \rightarrow -\infty$

Dann haben wir den Punkt $P1(1,e)$ , der uns die Basis der Exponentialfunktion verrät. Auch dieser Punkt wird gespiegelt zu $P2(e,1)$ und gibt uns ebenfalls die Basis der Logarithmusfunktion. Wir müssen nur die Höhe $y=1$ mit der Logarithmusfunktion schneiden und dann die $x$ -Koordinate ablesen. Sie entspricht dann der Basis, denn:

$\log_a(a) = 1 \quad (\forall a \in \mathbb{R}^+, \; a \neq 1 )$

Das Argument im Logarithmus darf nicht negativ sein, d.h. der Logarithmus ist für negative Argumente $x$ nicht definiert. Das muss so sein, denn eine Potenz kann keine negativen Werte produzieren, wenn wir für die Basis $a \in \mathbb{R}^+, \; a \neq 1$ verlangen.

Der Verlauf der Logarithmen für Basen $a>1$ hat folgende Eigenschaften:

$\log_a(x) < 0$ für $0<x<1$
$\log_a(x=1)=0$ für $\forall a$ (gemeinsamer Punkt B)
$\log_a(x) > 0$ für $x > 1$
$\log_a(x)$ ist nur für $x>0$ definiert

Der Logarithmus mit Basis $a>1$ ist eine Wachstumsfunktion, jedoch mit kleinster Wachstumsrate überhaupt, d.h. geringster Mächtigkeit.

Für $x \rightarrow 0$ nähert sich die Kurve asymptotisch der $y$ -Achse an.

So wie die Exponentialfunktion für das stärkst mögliche Wachstum steht (maximale Mächtigkeit), so liefert der Logarithmus zwar ein beständiges Wachstum, jedoch ist es das langsamste Wachstum, das es gibt. Die Kurve wächst an und geht irgendwann ins Unendliche, aber sie flacht immer mehr ab und braucht deshalb so lange wie keine andere.

Beispiel

Bestimme die Basen der drei Logarithmusfunktionen im folgenden Graphen:

Wir schneiden die Logarithmusfunktionen auf der Höhe 1 und erhalten eine erste $x$ -Koordinate durch den Schnittpunkt $(2,1)$ mit der blauen Kurve. Das ist der Logarithmus zur Basis 2.

Den zweiten Schnittpunkt erhalten wir mit der grünen Kurve bei $(\approx 2.7,1)$ . Das ist höchstwahrscheinlich die Basis $e$ .

Die rote Kurve wird auf der Höhe 1 geschnitten in $(10,1)$ . Die rote Kurve ist demnach der Verlauf des Zehnerlogarithmus›.

* blaue Kurve: $a=2$

* grüne Kurve: $a=e$

* rote Kurve: $a=10$

Für die Basis haben wir uns bis hierher auf $a>1$ beschränkt, wie z.B. $a=2$ , $a=e$ oder $a=10$ . Wie steht es mit Basen $0 < a < 1$ , z.B. $a=\frac{1}{2}$ ?

Für diese Basis gilt beispielsweise:

$\log_{(1/2)}\Big( \frac{1}{2} \Big) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \Big( \frac{1}{2} \Big)^1 = \frac{1}{2}$

$\log_{(1/2)} (2) = -1 \quad \Leftrightarrow \quad \Big( \frac{1}{2} \Big)^{-1} = \frac{1}{2^{-1}} = 2^1 = 2$

Ausserdem wird diese Kurve auch durch den gemeinsamen Punkt $B$ gehen. Wir haben somit die folgenden Punkte:

$(\frac{1}{2},1), \;\; B(1,0), \;\; (2,-1)$

Es ist eine fallende Kurve, die von oben links nach unten rechts abfällt. Es ist die blaue Kurve in der folgenden Grafik:

Der Verlauf der Logarithmen für Basen $0<a<1$ hat folgende Eigenschaften:

$\log_a(x) > 0$ für $0<x<1$
$\log_a(x=1)=0$ für $\forall a$ (gemeinsamer Punkt B)
$\log_a(x) < 0$ für $x > 1$
$\log_a(x)$ ist nur für $x>0$ definiert

Der Logarithmus mit Basis $a<1$ ist eine fallende Funktion. Im Gegensatz zur exponentiellen Zerfallsfunktion nähert sich diese Logarithmusfunktion nicht einem Wert an, obwohl sie abflacht. Sie fällt immer weiter ins Negative.

Für $x \rightarrow 0$ nähert sich die Kurve asymptotisch der $y$ -Achse an.

Logarithmus

Definition

Beispiel

Logarithmus als Umkehrfunktion

Beispiel

Graph des Logarithmus

Beispiel

Logarithmische Skala

Rechenregeln für den Logarithmus

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Logarithmus als Umkehrfunktion

Beispiel

Graph des Logarithmus

Beispiel

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