Beim Additionsverfahren, auch Eliminationsverfahren nach Gauss genannt, nutzen wir die Möglichkeit, Linearkombinationen von Gleichungen zu machen zu können.

Bei der Besprechung der Gleichungen hatten wir gesehen, dass eine Gleichung beidseitig mit einem beliebigen Faktor (ausser null) multipliziert werden kann und dabei nichts an der Lösungsmenge der Gleichung ändert (Äquivalenzumformung). Wir können z.B. die einfache Gleichung $x+1=4$ umformen und dabei bleibt die Lösung immer $x=3$ .

Wenn wir die Gleichung z.B. mit 2 multiplizieren, erhalten wir:

$\begin{array}{rcll}2 \cdot (x+1) & \;\; = \;\; & 2 \cdot 4 & \\2x + 2 & \;\; = \;\; & 8 & \quad \Big \vert -2 \\2x & \;\; = \;\; & 6 & \quad \Big \vert :2 \\x & \;\; = \;\; & 3 & \\\end{array}$

Wir können auch die Vorzeichen ändern, indem wir mit $(-1)$ multiplizieren, doch die Lösung der Gleichung bleibt gleich.

$\begin{array}{rcll}(-1) \cdot (x+1) & \;\; = \;\; & (-1) \cdot 4 & \\-x - 1 & \;\; = \;\; & -4 & \quad \Big \vert +1 \\-x & \;\; = \;\; & -3 & \quad \Big \vert \cdot (-1) \\x & \;\; = \;\; & 3 & \\\end{array}$

Lineare Gleichungen mit den gleichen Lösungen dürfen mit einem Faktor (nicht null) multipliziert werden und beliebig untereinander addiert werden. Subtrahieren ist damit auch möglich, da sie einer Multiplikation mit $(-1)$ und einer anschliessenden Addition entspricht.

Die besagten Operationen werden auch Linearkombinationen genannt. Linearkombinationen von Gleichungen sind Äquivalenzumformungen, weil sie nichts an der Lösungsmenge der Gleichungen ändern.

Schauen wir uns jetzt noch das Addieren von ganzen Gleichungen an. Auch hier ändert sich an der Lösung nichts. Das folgende lineare Gleichungssystem hat die Lösung $(x,y)=(3,1)$ . Beide Gleichungen im System werden mit dieser Lösung erfüllt.

$\begin{cases}\begin{array}{rcll}x + y & = & 4 & \quad (a) \\\frac{1}{2}x - y & = & \frac{1}{2} & \quad (b) \\\end{array}\end{cases}$

Wenn wir die beiden Gleichungen $(a)$ und $(b)$ miteinander addieren, erhalten wir eine Gleichung $(a)+(b)$ . Interessanterweise ist die Unbekannte $y$ weggefallen, so dass wir die Gleichung für $x$ lösen können.

$\begin{array}{rcll} x + y & = & 4 & \quad (a) \\\frac{1}{2}x - y & = & \frac{1}{2} & \quad (b) \\\hline \\\frac{3}{2}x + 0 & = & \frac{9}{2} & \quad (a)+(b) \\\\\frac{3}{2}x & = & \frac{9}{2} & \quad \Big \vert \cdot \frac{2}{3} \\\\x & = & \frac{9}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{3} = 3 \end{array}$

Wir erhalten tatsächlich $x=3$ , woraus natürlich schnell $y=1$ folgt, wenn wir wieder $(a)$ oder $(b)$ anwenden. Wir werden jetzt aber – mehr der Übung halber – das Additionsverfahren nochmals anwenden und dieses Mal dafür sorgen, dass die Unbekannte $x$ wegfällt und wir eine Gleichung für $x$ erhalten.

Um dies zu erreichen, können wir z.B. die Gleichung $(b)$ mit $(-2)$ multiplizieren, so dass wir $-x$ erhalten:

$\begin{array}{rrcrr}x & + y & = & 4 & \quad (a) \\-x & + 2y & = & -1 & \quad (-2) \cdot (b) \\\hline \\0 & + 3y & = & 3 & \\\end{array}$

Wir erhalten $y=1$ , wie erwartet.

Beim Additionsverfahren werden Gleichungen mit geschickt gewählten Faktoren multipliziert, so dass nach der Addition von zwei Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Auf diese Weise wird die Anzahl Unbekannten und die Anzahl Gleichungen je um eins reduziert.

Das Verfahren kann mehrfach angewandt werden, bis die erste Unbekannte berechnet werden kann.

Beispiel

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten:

$\begin{cases} \begin{array}{rrrcrr}x & + y & + z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a) \\-x & - 2y & + z & \;\; = \;\; & 0 & \quad (b) \\x & - y & + 2z & \;\; = \;\; & 2 & \quad (c) \end{array}\end{cases}$

Wir fangen mal mit den beiden Gleichungen $(a)$ und $(b)$ an, denn die können wir addieren, ohne vorher zu multiplizieren. Das $x$ fällt auch so schon weg.

$\begin{array}{rrrcrr}x & + y & + z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a) \\-x & - 2y & + z & \;\; = \;\; & 0 & \quad (b) \\\hline \\0 & - y & + 2z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a) + (b) \end{array}$

Dann addieren wir $(a)$ und $(-1) \cdot (c)$ miteinander:

$\begin{array}{rrrcrr}x & + y & + z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a) \\-x & + y & - 2z & \;\; = \;\; & -2 & \quad (-1) \cdot (c) \\\hline \\0 & + 2y & - z & \;\; = \;\; & -1 & \quad (a) - (c) \\\end{array}$

Wir schreiben die beiden neu erhaltenen Gleichungen $(a)+(b)$ und $(a)-(c)$ als Gleichungssystem auf und führen die neuen Bezeichnungen $(a')$ und $(b')$ , damit die Sache wieder etwas übersichtlicher wird:

$\begin{cases} \begin{array}{rrcrr}-y & + 2z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a') \\2y & - z & \;\; = \;\; & -1 & \quad (b') \\\end{array} \end{cases}$

Wo stehen wir jetzt? Angefangen hatten wir mit einem 3×3-Gleichungssystem. Jetzt haben wir ein 2×2-Gleichungssystem, d.h. wir wenden das Additionsverfahren nochmals an, um auf eine Gleichung mit einer Unbekannten zu kommen. Es bietet sich an, die erste Gleichung $(a')$ mit 2 zu multiplizieren und dann beide Gleichungen zu addieren:

$\begin{array}{rrcrr}-2y & + 4z & \;\; = \;\; & 2 & \quad 2 \cdot (a') \\2y & - z & \;\; = \;\; & -1 & \quad (b') \\\hline \\0 & +3z & \;\; = \;\; & \;\;1 & \quad 2(a') + (b') \\\end{array}$

$z=\frac{1}{3}$

Wir haben jetzt den ersten Zahlenwert erhalten! Um eine weitere Unbekannte zu bestimmen, suchen wir eine Gleichung, wo nur zwei Unbekannte vorkommen und eine davon $z$ ist, für die wir dann den Zahlenwert von $z$ einsetzen können. Wir finden z.B. die Gleichung $(a')$ :

$-y + 2z = 1 \quad (a')$

$-y + 2 \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\rightarrow \quad y = -\frac{1}{3}$

Jetzt nehmen wir eine Gleichung, wo $x$ noch vorkommt, z.B. $(a)$ :

$x + y + z = 1 \quad (a)$

$x + \big( -\cancel{\frac{1}{3}} \big) + \cancel{\frac{1}{3}} = 1$

$x = 1$

Geschafft! Die Lösung des Gleichungssystems ist:

$\underline{\boldsymbol{L} = \Big \{ (1,-\frac{1}{3},\frac{1}{3}) \Big \}}$

Vielleicht hast du gemerkt, wo der Vorteil des Additionsverfahrens liegt. Es ist übersichtlich und organisiert. Bei vielen Gleichungen verliert man mit dem Lösungsverfahren durch Gleichsetzen oder Einsetzen schnell einmal die Übersicht und weiss nicht mehr, welche Gleichung schon verwendet worden ist und welche noch nicht. Hier können wir sie einfach tabellarisch addieren und machen so auch weniger Vorzeichenfehler.

Additionsverfahren nach Gauss

Beispiel

Trigonometrische Gleichungen

Vektoren subtrahieren

Gleichung einer Ebene

Kreis

Wertetabelle und Funktionsgraph

Vektor mit einem Skalar multiplizieren

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Beispiel

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