Exponentieller Zerfall

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Wenn die Basis a < 1 ist (z.B. a=\frac{1}{2}), dann wir bei jedem Einerschritt der aktuelle Funktionswert mit \frac{1}{2} multipliziert bzw. halbiert. Dabei wird der Funktionswert immer kleiner, bleibt aber immer positiv: Wir haben dann den Fall des exponentiellen Zerfalls. Der Verlauf der Funktion geht wieder durch den gemeinsamen Punkt A und wir erkennen die Basis anhand des Funktionswerts im Punkt B.

Für immer grösser werdende x wird ja der Funktionswert zunehmend kleiner, bleibt aber positiv. Er nähert sich dem Wert null an, obwohl er diesen nie erreicht. Man kann höchstens sagen, dass für x \rightarrow \infty gilt f(x) \rightarrow 0 oder mit dem Grenzwert:

    \[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \]

 

Man nennt das auch asymptotische Annäherung der Funktion an die x-Achse, die in diesem Fall die Asymptote ist.

Funktionswerte der exponentiellen Zerfallsfunktion

Für alle Basen a<1 gilt:

  • a^x > 1\;\; für \;\;x<0
  • a^x=1\;\; für \;\;x=0
  • 0 < a^x < 1\;\; für \;\;x>0

Auch die Funktion des exponentiellen Zerfalls geht durch den gemeinsamen Punkt A(0,1).

Der Funktionswert der Exponentialfunktion im Punkt B(1,a) verrät uns die Basis a.

Wenn wir genau beobachten, sehen wir, dass der Verlauf die Spiegelung der Funktion 2^x an der y-Achse ist. Algebraisch wird an der y-Achse gespiegelt, wenn x mit (-x) ersetzt wird:

    \[ 2^x \quad \rightarrow \quad 2^{(-x)} = 2^{(-1) \cdot x} = \Big( 2^{-1} \Big)^x = \Big( \frac{1}{2} \Big)^x \]

Beispiel

Die ältesten Funde von Homo sapiens Knochen in Europa konnten mit der Radiokarbonmethode datiert werden. Die Konzentration von C-14 in den Knochen war dabei etwas grösser als \frac{1}{128} der Normalkonzentration.

Schätze daraus das Alter der Knochen ab, wenn die Halbwertszeit von C-14 rund 5730 Jahre beträgt.

Wenn die C-14-Konzentration nur noch \frac{1}{128} der Normalkonzentration beträgt, hat sie sich schon 7-mal halbiert:

    \[ \frac{1}{128} = \Big ( \frac{1}{2^7} \Big ) = \Big ( \frac{1}{2} \Big )^7 \]

Damit haben wir etwa die 7-fache Halbwertszeit, d.h.

    \[ 7 \cdot 5730 = \underline{40'110} \]

Der Fund ist somit ca. 40’000 Jahre alt.

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