Stetigkeit

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Funktionsgraphen, die durch kontinuierliche Punktscharen \textit{ohne} Unterbruch beschrieben werden, heissen stetig.

Die Stetigkeit kann an bestimmten Punkten, den sog. Unstetigkeitsstellen, unterbrochen sein:

  • Löcher, d.h. Unterbrüche des Funktionsverlaufs
  • Sprünge, d.h. der Funktionsverlauf springt auf eine neue Höhe
  • Funktion verläuft ins Unendliche
  • Funktion verläuft ins Unendliche, kombiniert mit einem unendlichen Sprung

Beispiel

Finde die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktion. Um welche Art von Unstetigkeitsstellen handelt es sich?

    \[ f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x-24} \]

Wir erhalten die Unstetigkeitsstelle, indem wir das Nennerpolynom null stellen:

    \[ x^2-2x-24 \; \overset{!}{=} \; 0 \]

Links können mit mit dem Klammeransatz faktorisieren, denn der zweite Term ist 4-6=-2 und der dritte Term ist 4 \cdot (-6) = -24. Somit schreiben wir:

    \[ (x+4)(x-6) = 0 \]

Wir sehen sofort, dass diese Gleichung erfüllt ist, wenn \underline{x=-4} oder \underline{x=6}. Das sind unsere beiden Unstetigkeitsstellen.

Um die Art der Unstetigkeitsstellen herauszufinden, machen wir eine kleine Skizze des Graphen. Dazu ermitteln wir noch ein paar Punkte:

    \[ f(0) = \frac{1}{24} \]

Das Zählerpolynom verrät uns die Nullstellen der Funktion:

    \[ x^2 - 1 \; \overset{!}{=} \; 0 \]

    \[ x^2 = 1 \]

Diese Gleichung hat zwei Lösungen: x=-1 und x=1.

Die Polynomdivision verrät uns zudem das Verhalten der Funktion im Unendlichen (Asymptote):

    \[ (x^2-1) \;:\; (x^2-2x-24) \; = \; 1 + \text{Rest} \]

Damit schmiegt sich die Funktion der Asymptoten y=1 an für x \rightarrow -\infty und x \rightarrow \infty.

Der Verlauf der Funktion sieht in etwa folgendermassen aus:

Die beiden Unstetigkeitsstellen sind unendliche Sprünge.

Beispiel

Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktion

    \[ y(x)=\frac{x+1}{x-1} \]

Die Unstetigkeitsstelle finden wir, indem wir den Nenner auf null setzen. Der Nenner ist null für \underline{x=1}.

Die Funktion hat eine Nullstelle in x=-1, wie wir es im Zählerpolynom sofort erkennen können.

Den Achsabschnitt erhalten wir ebenfalls sehr schnell:

    \[ f(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1 \]

Schliesslich führen wir eine Polynomdivision durch und erhalten:

    \[ (x+1) \;:\; (x-1) \;=\; 1 + \text{Rest} \]

Damit ist die Asymptote wieder von der Form y=1.

Der Verlauf zeigt uns, dass es sich um einen unendlichen Sprung handelt.

Unendlicher Sprung

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