Funktionen verschieben

Verschiebung in vertikaler Richtung

Wir können den Funktionsverlauf im Koordinatensystem sehr einfach nach oben oder unten verschieben. Es reicht den Verschiebungsbetrag zum Funktionswert zu addieren und schon verschieben sich alle Punkte nach oben.

Beispiel

Verschiebe die Parabelfunktion f_1(x)=x^2 so nach unten, dass der Achsabschnitt (-4) beträgt. Bestimme die neue Funktionsgleichung von f_2(x) und zeichne den Graphen ein. Erkennst du die beiden neuen Nullstellen in der Funktionsgleichung?


Der Achsabschnitt ist momentan bei null, weil wir ja im Prinzip die Funktionsgleichung f_1(x)=x^2+0 haben. Damit der Achsabschnitt bei -4 liegt, muss am Ende der Funktionsgleichung ein (-4) stehen.

Wir schreiben deshalb einfach:

    \[ f_2(x) = x^2-4 \]

Jetzt können wir eine kleine Wertetabelle aufstellen…

x-2-1012
f_2(x)0-3-4-30

…und die neuen Punkte unten eintragen. Beachte, dass der neue Scheitelpunkt die y-Achse tatsächlich bei y=-4 schneidet: f(0)=-4

Interessant ist noch die Frage nach den Nullstellen. Wenn wir die neue Funktionsgleichung zuerst mit null gleichstellen und dann links faktorisieren, erhalten wir:

    \[ f_2(x) = x^2-4 \;\; \stackrel{!}{=} \;\; 0 \]

    \[ (x+2)(x-2) = 0 \]

Wir haben dazu die dritte binomische Formel angewandt. Wir sehen, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn eine der beiden Klammern null ist. Das ist der Fall für zwei x-Werte, nämlich für x=-2 und für x=2, unsere beiden neuen Nullstellen!

Verschiebung des Funktionsverlaufs in vertikaler Richtung:

Die Original-Funktion sei f(x). Wir können einen neuen Funktionsgraphen g(x) erhalten, der um den Betrag \boldsymbol{q} nach oben verschoben ist, mit:

    \[ g(x)=f(x)+\boldsymbol{q} \]

Wenn \boldsymbol{q} negativ ist, verschiebt sich der Verlauf entsprechend nach unten.

Verschiebung in horizontaler Richtung

Wenn der Funktionsverlauf horizontal verschoben werden muss, dann ist das nur ein bisschen komplizierter als in der Vertikalen.

Verschiebung des Funktionsverlaufs in horizontaler Richtung:

Wir können auch einen neuen Funktionsgraphen h(x) erhalten, der um den Betrag \boldsymbol{d} nach rechts verschoben ist, mit:

    \[ h(x)=f(x-\boldsymbol{d}) \]

Wenn \boldsymbol{d} negativ ist, d.h. in der Klammer ein Wert zum Argument hinzuaddiert wird, verschiebt sich der Verlauf entsprechend nach links

Beispiel

Verschiebe die Parabelfunktion f_1(x)=x^2 so nach links, dass der Achsabschnitt (+4) beträgt. Bestimme die neue Funktionsgleichung von f_3(x) und zeichne den Graphen ein. Erkennst du die neue Nullstelle in der Funktionsgleichung?


Da wir nach links verschieben, muss d negativ sein, und zwar (-2). Wir erhalten somit:

    \[ f_3(x) = \big(x-(-2)\big)^2 \]

    \[ f_3(x) = \big(x+2\big)^2 \]

Eine kleine Wertetabelle dazu:

x-4-3-2-10
f_3(x)41014

Der neue Graph ist unten eingezeichnet. Wie du siehst, ist der Achsabschnitt tatsächlich bei (+4), denn f_3(0)=4.

Wir können die neue Funktionsgleichung auch ausmultiplizieren bzw. die binomischen Formeln anwenden:

    \[ f_3(x) = (x+2)^2 = x^2 + 4x \; \underline{+\;4} \]

Jetzt ist der neue Achsabschnitt in der Funktionsgleichung deutlich erkennbar.

Für die Nullstelle nehmen wir wieder die ursprüngliche Version, denn das ist bereits die faktorisierte Form:

    \[ f_3(x) = (x+2)^2 \]

    \[ = (x+2)\cdot(x+2) \;\; \stackrel{!}{=}\;\; 0 \]

Die Gleichung ist erfüllt, wenn \underline{x=-2} ist. Aus der Grafik können wir diese neue Nullstelle bestätigen.

David John Brunner

Lehrer für Physik und Mathematik, Zürich | Mehr erfahren

Schreibe einen Kommentar