Leibniz-Reihe

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Die Leibniz-Reihe ist nach dem deutschen Mathematiker und Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz benannt, der Ende 17., Anfang 18. Jahrhundert lebte. Ich betrachte sie als Zahlenspielerei, wobei wir eine interessante Eigenschaft entdecken werden. Die Folge sieht folgendermassen aus:

    \[ (a_n) = \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}, ... \]

Soweit sehen wir noch gar nichts, nur dass die Glieder der Folge immer kleiner werden. Wir wissen jetzt aber, dass die unendliche Summe möglicherweise zu einem endlichen Wert konvergieren wird…vielleicht aber auch nicht.

    \[ s_\infty = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + ... \quad = \quad ? \]

Die Leibniz-Reihe ist folgendermassen definiert:

    \[ s_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i \cdot (i+1)} \quad = \quad \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{n \cdot (n+1)} \]

Wir berechnen die unendliche Summe und setzen deshalb n = \infty ein.

    \[ s_\infty = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i \cdot (i+1)} \]

Den Bruch im Summenzeichen schreiben wir etwas um und kürzen die beiden Brüche:

    \[ \frac{1}{i(i+1)} = \frac{(i+1)-i}{i(i+1)} = \frac{i+1}{i(i+1)} - \frac{i}{i(i+1)} = \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} \]

Damit können wir im Summenzeichen eine Summe einsetzen und Eigenschaft (1) des Summenzeichens anwenden:

    \[ s_\infty = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i \cdot (i+1)} \quad = \quad \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} - \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i+1} \]

Die erste Summe ist die unendliche Summe der harmonischen Reihe. Achtung! Wir wissen bereits schon, dass das eigentlich eine unendliche (divergierende) Summe ist. Für den Moment lassen wir sie so stehen.

Für die zweite Summe wenden wir eine Substitution an. Wir setzen (i+1)=j. Damit können wir den Nenner vereinfachen und j reinschreiben. Unsere Zählervariable im zweiten Summenzeichen ist jetzt nicht mehr i, sondern j. Wenn i = 1, 2, 3, ... hochzählt, dann gilt j = 2, 3, 4, ..., da j immer genau um eins grösser ist als i.

Das zweite Summenzeichen hat jetzt eine angehobene untere Grenze, da es ab 2 zählt und nicht ab 1. Wir nehmen die Eigenschaft (4) zur Hand und sagen einfach: Wir zählen wieder ab 1, ziehen dann den ersten Summanden aber wieder weg. So haben wir Summenzeichen, die unten bei 1 beginnen. Der erste Summand war ja \frac{1}{j} für j=1, was einfach 1 ergibt.

    \[ s_\infty = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} - \sum_{j=2}^{\infty} \frac{1}{j} \quad = \quad \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} - \Bigl ( \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j} -1 \Bigr ) \quad = \quad \cancel{\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}} - \cancel{\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j}} + 1 \quad = \quad 1 \]

Die beiden Summenzeichen sind ja unendlich, aber das stört uns nicht, denn sie sind genau gleich gross und wir müssen sie von einander abziehen. Somit heben sie diese beiden «Monster» gegenseitig auf und übrig bleibt das Resultat: 1.

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David John Brunner

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