Arithmetische Reihen (AR)

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Eine arithmetische Reihe entsteht, wie der Name suggeriert, wenn eine //arithmetische Folge// laufend aufsummiert wird. Schauen wir uns als erstes Beispiel die einfachste arithmetische Folge an, die Folge der natürlichen Zahlen: a_n = n

n1234567…
a_n1234567…
s_n12610152128…

Wir erinnern uns an den Trick von Gauss, mit welchem wir die aufsteigenden natürlichen Zahlen aufsummiert haben, bis zu einer oberen Grenze n. Aus den n zu summierenden Zahlen bildete Gauss \frac{n}{2} Pärchen, die alle die gleiche Summe ergaben, nämlich (n+1). Somit folgte die Eigenschaft (4) für das Summenzeichen. Die Summe der Zahlen mit Zähler 1 bis n ist gleichzeitig auch das n-te Glied der Reihe s_n:

    \[ s_n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n}{2} \cdot (n+1) \]

Die hier betrachtete arithmetische Reihe gilt nur für eine darunter liegende arithmetische Folge mit d=1. Wir können aber den Trick von Gauss für alle arithmetischen Reihen anwenden und erhalten so einen allgemeinen Ausdruck:

Die Reihe s_n, die zu einer arithmetischen Folge a_n gehört, heisst arithmetische Reihe und ist definiert durch:

    \[ s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

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