Rekursive Definition

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Die Folge der natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) kann explizit ausgedrückt werden als a_n=n. Sie kann aber auch anders beschrieben werden: Jedes Glied der Folge entspricht dem vorhergehenden Glied plus eins:

    \[ a_n = a_{n-1} + 1 \]

Die rekursive Definition erlaubt uns aus dem Glied a_1 das nächste Glied a_2 zu berechnen, dann mit Hilfe von a_2 wieder das Nächste, a_3 usw. Sobald wir in der Folge drin sind, können wir uns beliebig hoch- oder herunter bewegen.

Wie lautet die rekursive Definition der Folge 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, ...? Es ist natürlich die genau gleiche Definition wie vorhin. Jetzt haben wir aber zwei unterschiedliche Folgen mit der gleichen Definition. Letztere ist demnach nicht eindeutig.

Wenn wir aber ein Glied aus der Folge festlegen, ist klar, um welche Folge es sich handelt. Meistens wird das erste Glied a_1 definiert. Die Folge der natürlichen Zahlen müsste deshalb wie folgt definiert werden:

    \[ a_n = a_{n-1} + 1 \quad \text{mit} \quad a_1=1 \]

Für die zweite Folge schreiben wir analog:

    \[ b_n = b_{n-1} + 1 \quad \text{mit} \quad b_1=1.2 \]

Beispiel

Was ist die rekursive Definition der Fibonacci-Folge (c_k) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ?

Die Fibonacci-Folge ist ja so definiert, dass jedes Glied aus der Summe der beiden vorhergehenden Glieder berechnet wird:

    \[ c_k = c_{k-2} + c_{k-1} \]

Um die Definition eindeutig zu machen, müssen wir hier zwei Glieder angeben, weil die Formel auch zwei Glieder beinhaltet. Ohne Angabe von c_1 und c_2 können wir das Glied c_3 gar nicht berechnen:

    \[ c_3 = c_1 + c_2 = 1 + 1 = 2 \]

Somit ist die (vollständige) rekursive Definition der Folge:

    \[ c_k = c_{k-2} + c_{k-1} \quad \text{mit} \quad c_1=1 \quad \text{und} \quad c_2=1 \]

Mit der rekursiven Definition wird jedes Glied der Folge mit Hilfe eines vorhergehenden Glieds beschrieben, z.B. wir berechnen das n-te Glied durch Einsetzen des Werts des (n-1)-ten Glieds.

Damit ist der Schritt von einem Glied zum nächsten beschrieben, was aber noch nicht eindeutig ist. Wir brauchen noch eine zusätzliche Angabe von einem Glied der Folge, damit die Folge eindeutig beschrieben ist.

Wird für die Berechnung mehr als nur ein anderer Wert aus der Folge benötigt, so muss entsprechend auch mehr als ein Wert aus der Folge angegeben werden, um die Folge eindeutig zu definieren, z.B. die Fibonacci-Folge, die mit der Angabe von zwei Gliedern eindeutig definiert wird.

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