Geometrische Folgen (GF)

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Die geometrischen Folgen bilden auch eine Familie von Folgen mit einer gemeinsamen Eigenschaft. In der geometrischen Folge erhält man das nächste Glied, indem man immer das vorhergehende Glied mit dem gleichen Faktor q multipliziert.

Ist die Folge so definiert, dass von einem Glied zum nächsten immer der Wert des Glieds mit dem gleichen Faktor q multipliziert wird, so spricht man von einer geometrischen Folge.

Die rekursive Definition der geometrischen Folge lautet:

    \[ a_n = a_{n-1} \cdot q \]

Beispiel

Zeige, dass die Folge 1.5, 3, 6, 12, 24, .... eine geometrische Folge ist.

Wir sehen, dass von einem Glied zum nächsten, immer mit 2 multipliziert wird. Somit ist

    \[ q=2 \]

Der Faktor q ist konstant, so dass es sich um eine geometrische Folge handelt.

Die rekursive Definition der Folge lautet:

    \[ a_n = a_{n-1} \cdot q = 2 a_{n-1} \quad \text{mit} \quad a_1=1.5 \]

Wie bei der arithmetischen Folge, würden wir in gewissen Fällen die explizite Definition der Folge bevorzugen, z.B. wenn wir wieder das 94. Glied der Folge berechnen möchten. Für a_2 müssen wir a_1 einmal mit q multiplizieren. Für a_3 multiplizieren wir mit q und dann nochmals mit q, d.h. mit q^2. Für a_4 müssen wir a_1 mit q^3 multiplizieren etc. Wir kommen so auf die Formel:

    \[ a_{94} = a_1 \cdot q^{93} \]

Die explizite Definition einer geometrischen Folge ist:

    \[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \]

Beachte, dass wir in der obigen Formel auch n=1 einsetzen können. Wir erhalten dann nämlich

    \[ a_1 = a_1 \cdot q^{(1-1)} = a_1 \cdot q^0 = a_1 \cdot 1 = a_1 \]

Die Gleichung ist erfüllt. Wir haben dabei benutzt, dass jede Zahl mit Exponent null einfach eins ergibt.

Beispiel

In der folgenden Figur misst die Kathete des kleinsten Dreiecks s=1\;\text{cm}. Wie viel misst die Hypotenuse des grössten Dreiecks?

Die erste Hypotenuse des kleinsten Dreiecks hat die Länge \sqrt{2}s. Das zweitkleinste Dreieck hat somit eine Hypotenuse von \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} s. Die Längen der Hypotenusen beschreiben eine geometrische Folge mit q=\sqrt{2}:

    \[ h_n = h_1 \cdot q^{(n-1)} = (\sqrt{2}s) \cdot \sqrt{2}^{(n-1)} = s \cdot (\sqrt{2})^n \]

Wir zählen die Hypotenusen ab: Die grösste eingezeichnete Hypotenuse und damit die gesuchte Grösse ist: h_6

    \[ h_6 = s \cdot (\sqrt{2})^6 = s \cdot 2^3 = 8s = 8\,\text{cm} \]

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