Die erste Folge, die Sie je gelernt haben, ist die Folge der natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, …. Es ist Zahlen, die eine ganz spezielle Reihenfolge haben. Wir können jederzeit auch sagen, welche Zahl an 27. Stelle steht. Bei dieser Folge ist es einfach die 27.

Eine andere Folge ist die Folge der Zehnerzahlen: 10, 20, 30, 40, 50, …. Auch hier wissen wir, dass wir von einer Zahl zur nächsten einfach 10 addieren müssen. Wir können auch direkt sagen, dass z.B. die neunte Zahl in der Folge 90 ist.

Eine etwas speziellere Folge ist die sog. Fibonacci-Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. Können Sie erraten, welche Zahl als nächstes kommt? Wenn Sie immer zwei Glieder der Folge addieren, erhalten Sie das nächste Glied, d.h. nach 13, 21, … folgt somit 34. Auch bei der Fibonacci-Folge haben die Zahlen eine ganz bestimmte Position. Für die Glieder $a_n$ an den Positionen $n$ in der Folge gilt:

$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_3 = 2, \quad a_4=3, \quad a_5=5, \quad a_6=8, \quad a_7=13, \quad ... \quad \text{etc.}$

Wir können auch sagen, dass jeder Zahl $n$ ein bestimmter Wert $a_n$ zugeordnet wird. Mathematisch wird für eine Zuordnung der spezielle Pfeil $\mapsto$ verwendet:

$\begin{array}{ccc} (n=1) & \;\; \mapsto \;\; & (a_1 = 1) \\ (n=2) & \;\; \mapsto \;\; & (a_2=1) \\ (n=3) & \;\; \mapsto \;\; & (a_3=2) \end{array}$

Der Zähler $n$ ist eine natürliche Zahl, die bei eins beginnt und einfach hochzählt ( $1, 2, 3, ...$ ). Das dazu passende Glied der Folge ist dann jeweils $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ usw. Wir können den Zähler und den dazu gehörigen Wert als Tabelle aufstellen:

$n$	1	2	3	4	5	6	…
$a_n$	1	1	2	3	5	8	…

Folgen sind eine Zuordnung einer natürlichen Zahl $n$ (Zähler) zu einer reellen Zahl $a_n$ (n-tes Glied der Folge).

$n \mapsto a_n \qquad \text{(mit $n \in \mathbb{N}$ und $a_n \in \mathbb{R}$)}$

Eine Folge kann auch mit aufsteigendem Zähler als «Liste» aufgeschrieben werden:

$(a_n) = a_1, a_2, a_3, a_4,\,...\,etc.$

Wenn die Werte einer Folge immer noch grössere Werte annimmt und gewissermassen nach oben «explodieren», je weiter wir in der Folge uns bewegen, spricht man von einer divergierenden oder divergenten Folge. Die Werte können durchaus auch nach unten, in die negativen Werte, «explodieren». Gemeinsam ist ihnen, dass sie im Vergleich zu ihren Vorgängern immer grössere Abstände einnehmen.

Beispiel

Die beiden Folgen $(a_n) = 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$ und $(b_n) = -10, -100, -1000, -10'000, ...$ sind beides divergierende Folgen.

Es gibt auch Folgen, die zwar immer zunehmen, aber nicht divergent sind. Sie nehmen zu und nähern sich aber immer mehr einem Wert an.

Beispiel

Hier ein Beispiel einer Folge, die zwar zunimmt, aber nicht divergiert. Sie konvergiert zum Wert $1.\overline{8}<1.9$ :

$(c_n) = 1.8,\;\; 1.88,\;\; 1.888,\;\; 1.8888,\;\; ...$

Eine Folge heisst (bestimmt) divergent, wenn die Beträge ihrer Glieder immer mehr und schneller zunehmen. Divergente Folgen «explodieren» immer mehr, je weiter wir uns in der Folge bewegen.

Eine Folge heisst konvergent, wenn sie sich einem Wert annähert. Dieser Wert wird Grenzwert genannt.

Schliesslich gibt es Folgen, die innerhalb eines Wertebereichs hin und her schwanken. Da sie nicht «explodieren» sind sie nicht bestimmt divergent. Weil sie sich aber auch nicht einem Wert annähern, sind sie nicht konvergent. Sie heissen unbestimmt divergent.

Darstellung einer Folge

Da eine Folge eine Zuordnung von einer Zahl $n$ auf eine andere Zahl $a_n$ ist, haben wir immer Zahlenpaare ( $\boldsymbol{n}, \boldsymbol{a_n}$ ), die wir auch grafisch darstellen können. Wir wählen für die natürlichen Zahlen $n$ die horizontale Achse und für die realen Zahlen $a_n$ die vertikale Achse.

Da die $n$ -Werte natürliche Zahlen sind ( $1, 2, 3, ...$ ), gibt es keine Zwischenwerte wie z.B. $1.5$ . Es werden nur Punkte abgetragen (pro Zahlenpaar ein Punkt), keine ausgezogenen Kurven. Die Höhe der Punkte kann beliebige Zwischenwerte annehmen, da $a_n \in \mathbb{R}$ .

Beispiel

Stellen Sie die folgende Folge grafisch dar:

$a_n=\frac{n^2}{10}$

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Beispiel

Beispiel

Darstellung einer Folge

Beispiel

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