Die Integration durch Substitution ähnelt in ihrer Art der Ableitung mit der Kettenregel. Wir schauen uns das an einem Beispiel an:

Beispiel

Berechne das folgende Integral:

$\int_0^1 \sqrt{5x+4} \; dx$

Wir sehen, dass wir hier eine Verschachtelung haben. Die äussere Funktion ist die Wurzel, die innere Funktion ist der lineare Ausdruck $5x+4$ . Wir substituieren die innere Funktion mit $u$ :

$u = 5x + 4$

Damit können wir das Integral vereinfachen:

$\int_0^1 \sqrt{u} \; dx$

Das Problem ist jetzt aber, dass wir nicht sehen, dass $u$ eigentlich eine Funktion von $x$ ist. Auch ist die Integrationsvariable $x$ und nicht $u$ , sonst könnten wir das Integral einfach lösen. Wir müssen deshalb aus dem $dx$ ein $du$ machen. Dazu leiten wir $u$ nach $x$ ab:

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (5x+4) = 5$

Jetzt multiplizieren wir diese Gleichung mit $dx$ und erhalten:

$du = 5 \, dx$

Wir können jetzt auch mit $5$ dividieren und erhalten den Ausdruck, den wir brauchen, um $dx$ zu ersetzen:

$dx = \frac{1}{5} \, du$

Ersetzen wir $dx$ mit dem erhaltenen Ausdruck, kriegen wir ein Integral, das wir lösen können:

$\int \frac{1}{5} \sqrt{u} \; du$

Die Integrationsgrenzen müssen jetzt auch noch angepasst werden, denn es müssen « $u$ -Grenzen» sein, wenn wir über $u$ integrieren und nicht die $x$ -Grenzen $0$ und $1$ . Für die Neuberechnung der Grenzen benützen wir einfach die Definition von $u$ :

Neue untere Integrationsgrenze:

$x=0 \quad \rightarrow \quad u=5x+4$

$=5 \cdot 0 + 4 = 4$

Neue obere Integrationsgrenze:

$x=1 \quad \rightarrow \quad u=5x+4$

$=5 \cdot 1 + 4 = 9$

Das zu lösende Integral ist jetzt vollständig substituiert:

$\int_0^1 \sqrt{5x+4} \; dx \; = \; \int_4^9 \sqrt{u} \; du$

Jetzt brauchen wir die Stammfunktion von $\sqrt{u}$ . Wir erhöhen den Exponenten um 1 und dividieren durch den neuen Exponenten:

$F(u) = \frac{2}{3} u^{3/2}$

$\rightarrow \quad \frac{dF}{du} = \cancel{\frac{2}{3}} \cdot \cancel{\frac{3}{2}} u^{1/2}$

$\frac{1}{5} \int_4^9 \sqrt{u} \; du = \frac{1}{5} \cdot \big[ \frac{2}{3} u^{3/2} \big]_4^9$

$= \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \Big( 9^{3/2} - 4^{3/2} \Big)$

$= \frac{2}{15} \cdot \Big( 3^3 - 2^3 \Big) = \frac{2}{15} \cdot \Big( 27 - 8 \Big) = \underline{\;\frac{38}{15}\;}$

Vorgehen bei der Integration durch Substitution:

Innere und äussere Funktion identifizieren: Substitution $u=u(x)$ für die innere Funktion notieren
Substitution $u(x)$ nach $x$ ableiten. Den gewonnenen Ausdruck für $dx$ einsetzen und so mit $du$ ersetzen
Mit der Substitution $u(x)$ die $x$ -Integrationsgrenzen zu $u$ -Integrationsgrenzen machen
Alles einsetzen und Integral nach $u$ lösen

Falls es sich um ein unbestimmtes Integral handelt (ohne Integrationsgrenzen), ist das Resultat die Stammfunktion mit $u$ ausgedrückt. Hier muss $u$ am Schluss wieder mit $x$ rücksubstituiert werden.

Beispiel

Berechne das folgende Integral mit Substitution:

$\int_1^e \frac{\big(\ln(x)\big)^2}{x} \; dx$

Wir haben eine innere Funktion (den natürlichen Logarithmus) verschachtelt in einer äusseren Funktion (das Quadrat). Wir wählen deshalb die folgende Substitution:

$u = \ln(x)$

Jetzt ersetzen wir das $dx$ :

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$

$du = \frac{1}{x} \cdot dx$

$dx = x \cdot du$

Die Integrationsgrenzen müssen jetzt noch ersetzt werden:

Neue untere Integrationsgrenze:

$x=1 \quad \rightarrow \quad u = \ln(x) = \ln(1) = 0$

Neue obere Integrationsgrenze:

$x=e \quad \rightarrow \quad u = \ln(x) = \ln(e) = 1$

Jetzt können wir das Integral komplett substituieren:

$\int_1^e \frac{\big(\ln(x)\big)^2}{x} \; dx = \int_0^1 \frac{u^2}{\cancel{x}} \; \cancel{x} \cdot du$

$= \int_0^1 u^2 \; du = \Big[ \frac{1}{3} u^3 \Big]_0^1$

$= \frac{1}{3}1^3 - \frac{1}{3}0^3 = \underline{\;\frac{1}{3}\;}$

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Beispiel

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