Integral einer Umkehrfunktion

Wenn y=f(x) eine gewöhnliche Funktion ist, dann ist x=f^{-1}(y) deren Umkehrfunktion, d.h. wenn die Funktion f aus dem Argument x den Funktionswert y generiert, dann macht die Umkehrfunktion aus y wieder das ursprüngliche Argument x:

    \[ y = f(x) \quad \leftrightarrow \quad x = f^{-1}(y) \]

Wenn wir beispielsweise die Funktion f(x)=x^2 haben, dann ist f^{-1}(y)=\sqrt{y} die Umkehrfunktion:

    \[ y = x^2 \quad \leftrightarrow \quad x = \sqrt{y} \]

Natürlich dürfen wir die Umkehrfunktion auch mit x als Argument schreiben:

    \[ f(x) = x^2 \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(x) = \sqrt{x} \]

Die Integration einer Umkehrfunktion f^{-1}(x) von f(x) wird wie folgt berechnet:

    \[ \int f^{-1}(x) \; dx \]

    \[ = \;\; x \cdot f^{-1}(x) - F\Big( f^{-1}(x) \Big) + C \]

Herleitung

Für das Integral einer Umkehrfunktion f^{-1}(x) benutzen wir die Methode der Substitution. Wir ersetzen die Umkehrfunktion mit u(x)=f^{-1}(x):

    \[ \int f^{-1}(x) \; dx = \int u(x) \; dx \]

Wir können das Integral so aber noch nicht lösen, denn die Integrationsvariable ist immer noch dx. Aus u(x) = f^{-1}(x) folgt die Umkehrung:

    \[ f(u) = f\big( f^{-1}(x) \big) = x \]

Wir benutzen wieder den Physikertrick und leiten die obige Gleichung nach irgendeiner Variablen z.B. t ab. Dann multiplizieren wir alles mit dt:

    \[ \frac{df(u)}{dt} = \frac{dx}{dt} \]

    \[ df(u) = dx \]

Jetzt können wir das obige Integral vervollständigen:

    \[ \int u(x) \; dx = \int u \; df(u) \]

Jetzt nehmen wir die partielle Integration zur Hand. Natürlich wählen wir u als die abzuleitende Teilfunktion und df(u) als die zu integrierende Teilfunktion. Sie lässt sich sehr einfach integrieren, denn sie ist ja eine Ableitung, d.h. wir machen aus dem df(u) wieder ein f(u) und schon ist die Integration fertig.

Wir führen die partielle Integration nach u aus:

    \[ = \int \underset{\downarrow}{u} \; \underset{\uparrow}{df(u)} = u \cdot f(u) - \int u' \cdot f(u) \]

Die abgeleitete Teilfunktion u' ist die Ableitung von u nach u, d.h. \frac{du}{du} = 1

    \[ = \int \underset{\downarrow}{u} \; \underset{\uparrow}{df(u)} \]

    \[ = u \cdot f(u) - \int f(u) = u \cdot f(u) - F(u) \]

Schliesslich machen wir die Substitution u(x) = f^{-1}(x) wieder rückgängig:

    \[ = u \cdot f(u) - F(u) \]

    \[ = f^{-1}(x) \cdot \underbrace{f\Big( f^{-1}(x) \Big)}_{x} - F\Big( f^{-1}(x) \Big) \]

So erhalten wir die Lösung für das Integral einer Umkehrfunktion:

    \[ \int f^{-1}(x) \; dx \;\; = \;\; x \cdot f^{-1}(x) - F\Big( f^{-1}(x) \Big) \]

Beispiel

Berechne das folgende Integral:

    \[ \int_0^1 \arcsin(x) \; dx \]


Die zu integrierende Funktion ist die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion:

    \[ f(x) = \sin(x) \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(x) = \arcsin(x) \]

Jetzt wo wir f(x) haben, können wir auch die Stammfunktion F(x) hinschreiben.

    \[ f(x) = \sin(x) \]

    \[ \rightarrow \quad F(x) = \int f(x) \; dx = -\cos(x) \]

Jetzt benutzen wir die Formel und setzen alles ein:

    \[ \int \arcsin(x) \; dx = \int f^{-1}(x) \; dx \]

    \[ = x \cdot f^{-1}(x) - F\Big( f^{-1}(x) \Big) \]

    \[ = x \cdot \arcsin(x) - \Big( -\cos\big( \arcsin(x) \big) \Big) \]

Die Kosinus-Funktion braucht noch etwas Arbeit. Wir substituieren dazu den Arkussinus: y=\arcsin(x)

    \[ -\cos \big( \arcsin(x) \big) = -\cos(y) \]

Aus der Substitution folgt für x:

    \[ y=\arcsin(x) \quad \rightarrow \quad x=\sin(y) \]

Wir benutzen die Identität \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 und ersetzen den Sinus mit dem Kosinus:

    \[ x = \sin(y) = \sqrt{1-\cos^2(y)} \]

    \[ x^2 = \big( 1-\cos^2(y) \big) \]

    \[ \cos^2(y) = 1-x^2 \]

    \[ \cos(y) = \sqrt{1-x^2} \]

Wir haben somit einen einfachen Ausdruck gefunden:

    \[ -\cos \big( \arcsin(x) \big) = -\cos(y) \]

    \[ = -\sqrt{1-x^2} \]

Das ergibt die Lösung für das unbestimmte Integral des Arkussinus:

    \[ \int \arcsin(x) \; dx \]

    \[ = x \cdot \arcsin(x) - \big( -\sqrt{1-x^2} \big) + C \]

Wir setzen jetzt die Integrationsgrenzen ein:

    \[ \int_0^1 \arcsin(x) \; dx = \Big[\; x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} \; \Big]_0^1 \]

    \[ \Big(1 \cdot \arcsin(1) + \sqrt{1-1^2} \Big) - \Big(0 \cdot \arcsin(0) + \sqrt{1-0^2} \Big)\]

    \[ = \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 1 \]

 

    \[ = \underline{\frac{\pi}{2} - 1} \]

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