Lineare Approximation des Sinus und Verlauf des Fehlers

Ableitung von trigonometrischen Funktionen

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Wie wir schon bei der Besprechung der Ableitungsfunktion gesehen haben, ist die erste Ableitung der Sinus-Funktion gleich dem Kosinus. Andererseits ist die Ableitung der Kosinus-Funktion gleich dem Sinus mit (-1) multipliziert. Die Ableitungsfunktionen der anderen trigonometrischen Funktionen leiten wir nicht her, sondern entnehmen sie einfach der Formelsammlung:

Die ersten Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen sind:

    \[ \frac{d}{dx}\big( \sin(x) \big) \quad = \quad \cos(x) \]

 

    \[ \frac{d}{dx}\big( \cos(x) \big) \quad = \quad -\sin(x) \]

 

    \[ \frac{d}{dx}\big( \tan(x) \big) \quad = \quad \frac{1}{\cos^2(x)} \quad = \quad 1+\tan^2(x) \]

 

    \[ \frac{d}{dx}\big( \cot(x) \big) \quad = \quad -\frac{1}{\sin^2(x)} \quad = \quad -\big(1+\cot^2(x)\big) \]

 

Beispiel

Bestimmen Sie die Steigung der Sinus-Funktion an der Stelle x=0.

    \[ \frac{d}{dx}\big(\sin(x)\big) = \cos(x) \]

 

Wir setzen x=0 ein und erhalten:

    \[ \cos(0) = 1 \]

 

Die Sinus-Funktion selbst, hat einen Achsabschnitt von \sin(0)=0. Die Funktion kann an der Stelle x=0 deshalb mit der linearen Gleichung y(x)=x angenähert werden. Für kleine x-Werte ist die Abweichung geringfügig, d.h. wir können schreiben:

    \[ \lim_{x \rightarrow 0}\big(\sin(x)\big) \approx x \]

 

Das sieht hier vielleicht wie eine unwichtige Spielerei aus. Es ist jedoch ein viel genutzter Trick in der Physik oder in den Ingenieurwissenschaften. Wenn der Winkel im Sinus wirklich sehr klein ist, dann kann näherungsweise einfach der Winkel eingesetzt werden, ohne Sinus. Das macht das Lösen von Gleichungen oft viel einfacher oder vielleicht überhaupt erst möglich!

Lineare Approximation des Sinus und Verlauf des Fehlers
Lineare Approximation des Sinus und Verlauf des Fehlers

Die blau gestrichelte Kurve ist die Abweichung zwischen der Sinus-Funktion und der Linearen. Wir sehen, dass sie bis \frac{\pi}{8} wirklich sehr klein ist (\Delta<0.02).

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