Bakterien sind vor allem deshalb gefährlich, weil sie sich sehr schnell sehr stark vermehren können. Das exponentielle Wachstum ihrer Population kann mathematisch erklärt werden.

$\qquad 1 \quad \rightarrow \quad 2 \qquad \qquad \Delta = +1$

$\qquad 2 \quad \rightarrow \quad 4 \qquad \qquad \Delta = +2$

$\qquad \;\vdots$

$\qquad 10 \quad \rightarrow \quad 20 \qquad \qquad \Delta = +10$

$\qquad \;\vdots$

$\qquad 1'000'000 \quad \rightarrow \quad 2'000'000 \qquad \qquad \Delta = +1'000'000$

Der Zuwachs $\Delta$ ist abhängig davon, wie viele Bakterien schon da sind. Wenn wir die Anzahl Bakterien $n$ als Funktion der Zeit $t$ aufschreiben, dann wäre das:

$\frac{d}{dt} n(t) = k \cdot n(t)$

Diese Art von Gleichung heisst Differentialgleichung. Der Zuwachs ist, wie stark die Anzahl pro Zeit zunimmt: $\frac{d}{dt} n(t)$ . Dieser Zuwachs ist proportional zu der bereits anwesenden Anzahl Bakterien. Wie nehmen einen Proportionalitätsfaktor $k$ und setzen beide gleich, denn die Anzahl Bakterien bestimmt ja die Zuwachsrate.

Die Exponentialfunktion $e^x$ hat als Einzige die Eigenschaft, dass ihre erste Ableitungsfunktion, bis auf einen Faktor, gleich der ursprünglichen Funktion ist.

Erste Ableitungsfunktion der Exponentialfunktionen:

$\frac{d}{dx}\Big(e^x\Big) = e^x$

$\frac{d}{dx}\Big(a^x\Big) = (\ln a)\cdot a^x$

Beispiel

Die Population einer Bakterienart verdopple sich alle 15 Minuten. Wie viele Bakterien kommen nach Ablauf der ersten zwei Stunden pro Minute hinzu, wenn wir zu Anfang 1 Milliarde Bakterien haben?

Wir starten bei der Anfangspopulation von $n_0=10^9$ und verdoppeln, wenn $t$ um eins zunimmt, d.h. wir messen die Zeit in Viertelstunden.

$n(t)=n_0\cdot2^t$

Die gesuchte Zuwachsrate erhalten wir durch die Ableitung der Funktion $n(t)$ :

$\frac{d}{dt}n(t) = \frac{d}{dt}\Big(n_0\cdot2^t\Big)$

$= n_0\cdot\frac{d}{dt}\big(2^t\big) = n_0\cdot\big(\ln(2)\cdot2^t\big)$

Wir können jetzt einsetzen: $t = 8$ (8 Viertelstunden ergeben 2 Stunden) und $n_0=10^9$ :

$\frac{d}{dt}n(t) = 10^9\cdot\big(\ln(2)\cdot2^8\big)$

$= 177\cdot10^9 \;\;(15\text{min})^{-1}$

Nach zwei Stunden ist die Zuwachsrate fast 200 Milliarden pro Viertelstunde, d.h. rund 15-mal weniger pro Minute:

$\frac{d}{dt}n(t) = \underline{11.8\cdot10^9\;\text{min}^{-1}}$

Erste Ableitungsfunktion der Logarithmusfunktion:

$\frac{d}{dx}\Big(\ln(x)\Big) = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}\Big(\log_a(x)\Big) = \frac{1}{\ln(a)\cdot x}$

Die Ableitung der Logarithmusfunktion erhält man sehr einfach mit Hilfe der Ableitung einer Umkehrfunktion, indem der Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion genommen wird.

Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Beispiel

Summenregel der Differenzialrechnung

Nicht-differenzierbare Stellen

Kettenregel

Quotientenregel

Produktregel

Differenzen- und Differentialquotient

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Beispiel

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