Wir betrachten zum Einstieg wieder ein sehr einfaches Beispiel einer Funktion $f$ und ihrer Umkehrfunktion $g$ :

$f(x)=x^2 \;\; \leftrightarrow \;\; g(x)=\sqrt{x}$

Die Umkehrung des Quadrierens ist die Quadratwurzel. Gesucht ist hier die Ableitung von $g(x)=\sqrt{x}$ , wobei wir aber einen allgemein gültigen Ausdruck für alle möglichen Umkehrfunktionen suchen. $g$ hätten wir sonst mit der Potenzregel ableiten können.

Wenn wir $x$ quadrieren und dann wieder die Wurzel ziehen, haben wir wieder $x$ . Die Wirkung der Funktion $f$ wird durch die Umkehrfunktion $g$ wieder rückgängig gemacht. Das gilt immer und entspricht der eigentlichen Definition der Umkehrfunktion:

$f\Big(\,g(x)\,\Big)=x$

Wir leiten jetzt beide Seiten dieser Gleichung nach $x$ ab. Die linke Seite wird mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet: Zuerst die äussere Ableitung $f'(g) = \frac{d}{dg}f(g)$ , dann die innere Ableitung $g'(x) = \frac{d}{dx}g(x)$ :

$\frac{d}{dx}f\Big(\,g(x)\,\Big) = f'(g) \cdot g'(x)$

Die Ableitung der rechten Seite ist ganz einfach:

$\frac{d}{dx}x = 1$

Wir erhalten somit einen Ausdruck für die Ableitung $g'(x)$ der Umkehrfunktion:

$f'(g) \cdot g'(x) = 1$

$g'(x) = \frac{1}{f'(g)}$

Wenn $g(x)$ die Umkehrfunktion von $f(x)$ ist, dann gilt für die Ableitung der Umkehrfunktion:

$g'(x) = \frac{1}{f'(g)}$

Beachte, dass im Nenner $f'(g)$ die Ableitung nach $g$ ist und nicht nach $x$ :

$f'(g) = \frac{d}{dg}f(g)$

Wir bestimmen jetzt mit Hilfe dieses Ausdrucks die Ableitung der Quadratwurzel:

$f(x) = x^2 \;\; \rightarrow \;\; f'(x)=2x$

$g(x) = \sqrt{x} \;\; \rightarrow \;\; g'(x) = \frac{1}{f'(g)} = \frac{1}{2g}$

$= \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Das ist tatsächlich auch die Ableitung, die wir mit der Potenzregel erhalten hätten.

Beispiel

Finde die erste Ableitung von $\ln(x)$ .

Der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $e^x$ . Wir schreiben deshalb:

$f(x) = e^x \qquad \rightarrow \qquad f'(x)=e^x$

$g(x) = \ln{x} \qquad \rightarrow \qquad g'(x) = \frac{1}{f'(g)} = \frac{1}{e^{g}} = \frac{1}{e^{\ln(x)}}$

Wir benutzen jetzt $e^{\ln(x)} = x$ , da die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus ist (und umgekehrt). Somit erhalten wir schliesslich:

$\frac{d}{dx}\ln(x) = g'(x) = \underline{ \frac{1}{x} }$

Beispiel

Finde die erste Ableitung von $\arctan(x)$ .

Wir setzen $g(x)=\arctan(x)$ und ermitteln für die (einfachere) Umkehrfunktion $f$ die erste Ableitung:

$f(x) = \tan(x) \qquad \rightarrow \qquad f'(x)=\frac{1}{\cos^2{x}}$

Da wir im Nenner das Argument $g$ in die erste Ableitung von $f$ einsetzen müssen, wir das zu $\cos(\arctan\big(x)\big)$ , was nicht besonders praktisch ist. Deshalb müssen wir den Kosinus durch den Tangens ausdrücken oder umgekehrt.

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Den Sinus können wir mit der Eigenschaft $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ durch einen Ausdruck mit dem Kosinus ersetzen:

$\sin(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)}$

So erhalten wir:

$\tan(x) = \frac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)}$

$= \sqrt{\frac{{1-\cos^2(x)}}{\cos^2(x)}} = \sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}-1}$

Wie quadrieren und addieren 1:

$\frac{1}{\cos^2(x)} = \tan^2(x) + 1$

Jetzt sind wir bereit. Wir stellen den Ausdruck für die Ableitung der Umkehrfunktion $g$ auf:

$g'(x) = \frac{1}{f'(g)} = \frac{1}{\;\;\frac{1}{\cos^2(g)}\;\;}$

$= \frac{1}{\tan^2(g) + 1} = \frac{1}{\tan^2\big(\arctan(x)\big) + 1}$

Wir benutzen $\tan\big(\arctan(x)\big) = x$ und erhalten so die Ableitung des Arcustangens:

$\frac{d}{dx}\arctan(x) = g'(x) = \underline{\frac{1}{x^2 + 1}}$

Ableitung einer Umkehrfunktion

Beispiel

Beispiel

Quotientenregel

Kettenregel

Differenzen- und Differentialquotient

Ableitung von Hyperbelfunktionen

Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Höhere Ableitungen

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Beispiel

Beispiel

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