Rotation um die x-Achse

Wenn wir den Verlauf einer Funktion um die $x$ -Achse rotieren lassen, entsteht ein Rotationskörper gemäss folgender Abbildung.

Mit Hilfe der Integralrechnung lässt sich das Volumen $V$ dieses Körpers relativ einfach berechnen. Wir betrachten dazu eine unendlich dünne Scheibe (mit der Dicke $dx$ ). Es handelt sich dabei um einen Zylinder mit Radius $r = f(x)$ und einer «Zylinderhöhe» von $h=dx$ . Für das Zylindervolumen schreiben wir: Volumen = Grundfläche (eines Kreises) mal Höhe.

$V_{\text{Zylinder}} = \pi r^2 h$

Die infinitesimal dünne Scheibe (Dicke $dx$ ) hat ein infinitesimal kleines Volumen $dV$ :

$dV = \pi f(x)^2 dx$

Um das ganze Volumen zu erhalten, müssen wir einfach über alle infinitesimalen Scheiben summieren, d.h. integrieren:

$V = \int dV$

Wir setzen jetzt den Ausdruck für $dV$ ein und lösen das Integral:

$V = \int_a^b \pi f^2(x)\;dx = \pi \int_a^b f^2(x)\;dx$

Das Volumen eines Rotationskörpers um die $x$ -Achse herum, beschrieben durch die Funktion $f(x)$ , berechnet sich mit dem folgenden Integral:

$V = \pi \int_a^b f^2(x)\;dx$

Beispiel

Berechne das Volumen eines Kegels, der durch die Rotation von $f(x)=x$ von $0$ bis $h$ entsteht.

Wir benutzen die Formel für den Rotationskörper um die $x$ -Achse herum und setzen $f(x)=x$ und die Integrationsgrenzen $0$ und $h$ ein:

$V = \pi \int_0^h x^2\;dx = \pi \Big[ \frac{1}{3}x^3 \Big]_0^h$

$V = \frac{\pi}{3} \big( h^3 - \cancel{0^3} \big) = \;\; \underline{\frac{\pi h^3}{3}}$

Rotation um die y-Achse

Wenn wir einen Rotationskörper um die $y$ -Achse haben, können wir genau gleich vorgehen. Wir schauen uns das an einem Beispiel an.

Beispiel

Berechne den Rotationskörper um die $y$ -Achse herum, der durch die Parabel $f(x)=x^2$ erzeugt wird.

Zuerst versuchen wir die Formel für den Rotationskörper um die $x$ -Achse zu gebrauchen, denn schliesslich ist das Volumen unabhängig davon, wie die Achse heisst oder in welche Richtung sie zeigt. Statt um die $x$ -Achse herum, rotieren wir um die $y$ -Achse herum, d.h. wir müssen einfach alles was $x$ heisst mit $y$ umbenennen:

$V = \pi \int f(x)^2\;dx$

$\rightarrow \quad V = \pi \int_a^b g(y)^2\;dy$

Das Problem ist nur, dass wir eine Funktion brauchen, deren Argument die Achse ist, um die wir rotieren. Für eine Rotation um die $x$ -Achse ist es eine Funktion $f$ von $x$ , für eine Rotation um die $y$ -Achse ist es eine Funktion $g$ von $y$ . Was ist die Funktion $g(y)$ , wenn wir $f(x)=x^2$ haben? Es ist genau die Umkehrfunktion:

$y = x^2 \quad \leftrightarrow \quad \sqrt{y} = x$

$g(y) = \sqrt{y}$

Wir setzen dies ein in unser Integral für den Rotationskörper:

$V = \pi \int_a^b \big( \sqrt{y} \big)^2 \; dy = \pi \int_a^b y\; dy$

$= \pi \Big[ \frac{1}{2}y^2 \Big]_a^b = \underline{\frac{\pi}{2} \big( b^2 - a^2 \big)}$

Das Volumen eines Rotationskörpers um die $y$ -Achse herum, beschrieben durch die Funktion $g(y)$ , berechnet sich mit dem folgenden Integral:

$V = \pi \int_a^b g^2(y)\;dy$

Dabei ist $g(y)=f^{-1}(y)$ die Umkehrfunktion von $f(x)$ :

$y = f(x) \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(y) = x$

Arithmetische Folgen (AF)

VonDavid John Brunner 3. Januar 202330. Januar 2023

Die arithmetischen Folgen bilden eine Familie von unterschiedlichen Folgen, die jedoch eine ganz bestimmte Eigenschaft vereinen: Von einem Glied zum nächsten Glied wird immer der gleiche Betrag addiert. Mit haben wir wieder die Folge der natürlichen Zahlen, wenn . Mit kriegen wir eine fallende Folge, die z.B. beim Anfangswert beginnt und von da an immer…

Berechnungen am Dreieck

Höhensatz

VonDavid John Brunner 3. Januar 202330. Januar 2023

Der Höhensatz ist der zweite Satz in der Satzgruppe des Pythagoras. Er zeigt, wie die Höhe die Grundseite in zwei Streckenabschnitte und aufteilt. Beachten Sie, dass es sich auch hier um ein rechtwinkliges Dreieck handeln muss. Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Höhe dem Produkt der beiden Streckenabschnitte und auf der Grundseite,…

Potenzfunktionen

Quadratische Funktionen

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Ausrichtung der Parabel Quadratische Funktionen haben Parabeln als Graphen. Die Parabeln verlaufen, wenn sie ein positives Vorzeichen haben, von zu einem Minimum und wachsen dann wieder an bis . Die Parabeln sind in diesem Fall nach oben offen. Ist das Vorzeichen negativ, ist die Parabel nach unten offen und hat irgendwo ein Maximum. Der Punkt,…

Prozentrechnen

VonDavid John Brunner 4. Januar 202312. Februar 2023

Die Prozentrechnung ist allgegenwärtig. Obwohl sie recht einfach ist, wird sie meistens kompliziert erklärt, was zu einer allgemeinen Verunsicherung führt. Deshalb folgt hier ein anderer Ansatz.

Integrationsmethoden

Integral einer Umkehrfunktion

VonDavid John Brunner 4. Januar 202330. Januar 2023

Wenn eine gewöhnliche Funktion ist, dann ist deren Umkehrfunktion, d.h. wenn die Funktion aus dem Argument den Funktionswert generiert, dann macht die Umkehrfunktion aus wieder das ursprüngliche Argument : Wenn wir beispielsweise die Funktion haben, dann ist die Umkehrfunktion: Natürlich dürfen wir die Umkehrfunktion auch mit als Argument schreiben: …

Eigenschaften von Funktionen

Stetigkeit

VonDavid John Brunner 3. Januar 202330. Januar 2023

Funktionsgraphen, die durch kontinuierliche Punktscharen \textit{ohne} Unterbruch beschrieben werden, heissen stetig. Die Stetigkeit kann an bestimmten Punkten, den sog. Unstetigkeitsstellen, unterbrochen sein: Beispiel Finde die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktion. Um welche Art von Unstetigkeitsstellen handelt es sich? Wir erhalten die Unstetigkeitsstelle, indem wir das Nennerpolynom null stellen: Links können mit mit…

Rotation um die x-Achse

Beispiel

Rotation um die y-Achse

Beispiel

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