Berechnung des Schwerpunkts

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Wir erinnern uns nochmals an die Definition des Schwerpunkts: Er vereint die gesamte Masse und ist so platziert, dass er von überall gesehen das gleiche Drehmoment erzeugt, wie die im Körper verteilte Masse. Eine kleine Teilmasse erzeugt eine kleine Teil-Gewichtskraft dF_g. Für den ganzen Körper müssen die Teil-Gewichtskräfte integriert werden und wir erhalten die Gewichtskraft:

    \[ F_g = \int dF_g \]

Je weiter diese Teil-Gewichtskraft vom betrachteten Drehpunkt entfernt ist (Abstand x), desto grösser ist das Teil-Drehmoment dM. Für das Gesamt-Drehmoment aller Teil-Gewichtskräfte, müssen wir die Teil-Drehmomente integrieren. Dieses Integral muss dann aber das gleiche Drehmoment erzeugen, wir die gesamte Gewichtskraft F_g im Schwerpunkt, der im Abstand x_S liegt:

    \[ dM = x \cdot dF_g \]

    \[ M = \int dM = \int x \cdot dF_g \]

    \[ \stackrel{!}= \quad x_S \cdot F_g \]

Jetzt lösen wir die Gleichung nach dem gesuchten Abstand x_S des Schwerpunkts auf, indem wir durch die Gewichtskraft F_g dividieren und sie dann mit dem Integral von oben ersetzen:

    \[ x_S = \frac{\int x \cdot dF_g}{F_g} = \frac{\int x \cdot dF_g}{\int dF_g} \]

Das ist im Wesentlichen schon die Lösung. Durch die Berechnung dieses Bruchs mit den beiden Integralen haben wir die Position des Schwerpunkts berechnet. Eigentlich ist es nur die Schwerelinie, die Vertikale, die durch den Schwerpunkt verläuft. Der Abstand x_S beschreibt die Position der Schwerelinie, sagt uns aber nicht auf welcher Höhe der Schwerpunkt liegt.

Um das herauszufinden, braucht es eine zweite Schwerelinie, denn zwei Linien kreuzen sich in einem Punkt, oder wir benutzen die Symmetrie, z.B. wissen wir dass der Schwerpunkt auf der Mittellinie eines symmetrischen Objekts liegen muss.

Beispiel

Zeige, dass der Schwerpunkt des Rechtecks der Länge L bei x_S = \frac{L}{2} ist.

Im Abstand x haben wir die infinitesimale Gewichtskraft dF(x). Diese Gewichtskraft ist abhängig von der Funktion f(x). Je grösser f(x), desto mehr Gewicht wird an dieser Stelle x sein und desto grösser ist die Teil-Gewichtskraft dF(x). Wir schreiben deshalb einfach dF(x)=f(x) \cdot dx, d.h. f(x) für die Höhe und dx für die Breite. Wir nehmen an, dass die Dichte des Materials schon in f(x) berücksichtigt ist.

Im einfachen Fall eines Rechtecks ist f(x) ein konstanter Wert und zwar einfach f_0 für alle x. Somit:

    \[ dF(x) = f(x) dx = f_0 dx \]

Jetzt können wir den Abstand zum Schwerpunkt berechnen:

    \[ x_S = \frac{\int_0^L x \cdot dF(x)}{\int_0^L dF(x)} \]

    \[ = \frac{\int_0^L x \cdot f_0\;dx}{\int_0^L f_0\;dx} = \frac{f_0 \int_0^L x\;dx}{f_0 \int_0^L\;dx} \]

    \[ = \frac{\cancel{f_0} \cdot \frac{1}{2} \big[x^2\big]_0^L}{\cancel{f_0} \cdot \big[x\big]_0^L} = \frac{\frac{1}{2} (L^2-0^2)}{L-0} \]

    \[ = \underline{\frac{L}{2}} \]

Der Abstand x_S zur Schwerelinie, in welcher sich der Schwerpunkt befindet, kann wie folgt berechnet werden:

    \[ x_S = \frac{\int x \cdot f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx} \]

Dabei beschreibt f(x) die Verteilung der Masse als Funktion des Abstands x.

Beispiel

Finde den Abstand zur Schwerelinie x_S im rechtwinkligen Dreieck mit der Kathetenlänge s.

Der Körper kann mit der Funktion f(x)=x beschrieben werden. Für die Berechnung des Abstands x_S zur Schwerelinie benutzen wir ein Integral von 0 bis L:

    \[ x_S = \frac{\int_0^s x \cdot f(x) \; dx}{\int_0^s f(x) \; dx} \]

    \[ = \frac{\int_0^s x \cdot x \; dx}{\int_0^s x \; dx} = \frac{\big[\frac{1}{3}x^3\big]_0^s}{\big[\frac{1}{2}x^2\big]_0^s} \]

    \[ x_S = \frac{\frac{1}{3}(s^3-0^3)}{\frac{1}{2}(s^2-0^2)} \]

    \[ = \underline{\frac{2}{3}s} \]

Der Schwerpunkt liegt zwei Drittel einer Kathetenlänge s entfernt. Aus Symmetriegründen teilt die andere Schwerelinie das Dreieck ebenfalls auf der Höhe von zwei Dritteln einer Kathete (von oben gerechnet).

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