Wurzelwerte

Wurzeln mit geraden Exponenten

Mit welcher Methode berechnen wir einen beliebigen Wurzelwert? Wir erraten ihn oder sonst benutzen wir den Taschenrechner! In der Abbildung sehen Sie den Verlauf der Wurzelwerte einer Quadratwurzel. Wie erwartet, beträgt . Wir können auf der x-Achse den Wert 4 nach oben ziehen und sehen, dass die Kurve die Höhe 2 hat. Analog erhalten wir:

Wie viel beträgt ? Wir wissen nur, dass 6 etwa auf halbem Weg zwischen 4 und 9 ist, d.h. der Wurzelwert von sollte auch irgendwo zwischen 2 und 3 liegen. Aus dem Funktionverlauf von lesen wir ab: etwas weniger als 2.5. Der Taschenrechner liefert tatsächlich:

Der Funktionsverlauf ist eine um 90 gekippte halbe Parabel. Das ist natürlich kein Zufall, wenn doch die Quadratwurzel die Umkehrung des Quadrierens ist.

Wir erkennen auch, dass die Funktion nur für positive Werte von definiert ist. Für negative gibt es keine Lösungen. Dies gilt im übrigen für alle Wurzeln mit geraden Exponenten: etc.

Beachte: Wenn wir nicht nur die Zahlenmenge der reellen Zahlen betrachten, sondern auch die komplexen Zahlen aus der Menge erlauben, so gibt es sehr wohl Wurzelwerte von negativen Zahlen.

Schliesslich sehen wir, dass die Wurzelwerte alle positiv sind:

Wurzeln mit ungeraden Exponenten

Wie steht es mit den Wurzeln mit ungeraden Exponenten? In der nächsten Abbildung ist der Verlauf der Wurzelwerte der kubischen Wurzel aufgezeichnet.

Als erstes sehen wir, dass nun auch negative Werte annehmen und dass die kubische Wurzel ebenfalls negative Werte erzeugen kann. Das ist ein fundamentaler Unterschied zwischen den Wurzeln mit ungeraden Exponenten und den Wurzeln mit geraden Exponenten.

Der Grund für diesen Unterschied können wir verstehen, wenn wir die mit den Wurzeln verwandten Potenzen anschauen. Wenn wir Zahlen quadrieren, dann kriegen wir immer positive Werte, egal ob wir einen positiven oder einen negativen Wert quadrieren. Wir schaffen es nie, dass ein Quadrat jemals negativ wird:

Bei Potenzen mit ungeraden Exponenten ist die Sache anders. Hier geht das negative Vorzeichen nicht verloren, sondern wird übernommen:

Wenn jetzt die Wurzel das Umkehren der Potenz ist, so können wir bei ungeraden Exponenten einfach schreiben:

Bei der Wurzel mit geradem Exponenten können wir aber nicht wissen, ob die 9 aus dem Quadrieren von +3 oder von -3 entstanden ist. Durch das Quadrieren ist die Information verloren gegangen. Wir müssen deshalb beide Möglichkeiten zulassen. Gleichzeitig wissen wir auch, dass der Wurzelwert positiv sein muss. Wir nehmen deshalb Betragsstriche zur Hand:

Irrationalität von Wurzelwerten

Anhand des Beispiels der Wurzel werden wir in die Welt der reellen Zahlen eintauchen. Was wir hier finden werden, gilt grundsätzlich auch für andere Wurzelwerte.

Wir werden dazu einen sog. Widerspruchsbeweis aufstellen. Wir behaupten einfach, dass , d.h. dass eine rationale Zahl ist und zeigen dann, dass das nicht aufgeht. Damit beweisen wir, dass , womit folgt, dass gelten muss.

Wenn eine rationale Zahl ist, können wir sie mit einem Bruch beschreiben. Wir kennen aber weder den Zähler, noch den Nenner des Bruchs. Wir schreiben deshalb einfach » über » und nehmen an, dass der Bruch vollständig gekürzt ist:

Jetzt quadrieren wir die Gleichung

Somit gilt:

Da schon der Bruch vollständig gekürzt war, enthalten und keine gemeinsamen Teiler. Deshalb enthält auch der quadrierte Bruch keine gemeinsamen Teiler in Zähler und Nenner: Der Bruch ist immer noch vollständig gekürzt.

Wir schreiben 2 als Bruch und erhalten:

Jetzt haben wir links einen bekannten, vollständig gekürzten Bruch und rechts einen unbekannten, vollständig gekürzten Bruch. Beide Brüche haben den gleichen Bruchwert.

Wir können sehr einfach zwei Brüche aufstellen, die den gleichen Bruchwert haben, z.B. . Das geht aber nur übers Erweitern. Wenn aber beide Brüche vollständig gekürzt sein müssen, müssen Zähler und Nenner übereinstimmen. Daraus folgt:

ist OK, aber es gibt keine Zahl , die erfüllen kann, denn und . Den Wert 2 können wir mit Quadrieren einer natürlichen Zahl nicht erhalten. Damit haben wir den Widerspruch!…und haben damit bewiesen, dass der Wurzelwert aus 2 nicht eine rationale Zahl ist, sondern eine reelle Zahl:

Was bedeutet das? Der Wurzelwert ist eine Zahl mit unendlich vielen Kommastellen, die wir nie vollständig aufschreiben können:

Im Jahre 1997 wurde auf mehr als 137 Milliarden Stellen berechnet. Die Rekorde wurden seither immer wieder gebrochen. Der aktuelle Rekord steht bei 10 Billionen Stellen () nach dem Komma.