Die Wurzel ist eigentlich nichts anderes als eine spezielle Potenz. Sie wird entsprechend auch auf eine spezielle Art, nämlich mit einem Wurzelzeichen geschrieben. Grundsätzlich gelten aber sonst die gleichen Regeln, die wir für Potenzen kennengelernt haben.

Die $n$ -te Wurzel von $a$ ist das Gleiche, wie $a$ hoch $\frac{1}{n}$ . Der Wert $\sqrt[n]{a}$ wird als Wurzelwert bezeichnet.

$a^{(\frac{1}{n})} = \sqrt[n]{a}$

Dabei wird $a$ als Radikand und $n$ als Exponent bezeichnet:

$\text{Wurzelwert} = \sqrt[\text{Exponent}]{\text{Radikand}}$

Aus praktischen Gründen wird der Exponent $n=2$ meistens weggelassen, d.h. eine Wurzel ohne einem speziell erwähnten Exponenten, ist eine Quadratwurzel.

Beachte, dass der Exponent $n=1$ ein Spezialfall ist:

$\sqrt[\boldsymbol{1}]{a} = a^{(\frac{1}{\boldsymbol{1}})} = a$

Das Ziehen einer Wurzel ist die umgekehrte Operation zum Potenzieren einer Zahl. Wenn wir beispielsweise die Zahl 3 quadrieren, d.h. mit Exponent 2 potenzieren, dann erhalten wir 9. Der umgekehrte Ablauf ist das Ziehen der Wurzel (mit Exponent 2) von der Zahl 9. Das Resultat ist 3:

Der am häufigsten vorkommende Exponent $n=2$ wird meistens weggelassen.

$a^{(\frac{1}{2})} = \sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$

Eine solche Wurzel wird auch Quadratwurzel genannt, denn durch das Quadrieren fällt die Wurzel wieder weg. Muss sie auch, denn das Eine ist die Umkehrung des Anderen, somit landen wir schliesslich wieder dort, wo wir gestartet sind:

$\Bigl (\sqrt{a} \Bigr )^2 = \sqrt{(a^2)} = a$

Eine Wurzel mit dem ebenfalls häufig vorkommenden Exponenten $n=3$ wird Kubikwurzel oder kubische Wurzel genannt:

$\Bigl (\sqrt[3]{a} \Bigr )^3 = \sqrt[3]{(a^3)} = a$

Potenzen und Wurzeln sind auf gleicher Augenhöhe, d.h. es kommt nicht darauf an, ob wir Potenzieren und dann die Wurzel ziehen oder umgekehrt.

Die Wurzel ist die umgekehrte Operation zum Potenzieren: Die Wurzel einer Potenz ist gleich der Potenz einer Wurzel. Im Endeffekt ist alles eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten:

$\Bigl (\sqrt[n]{a} \Bigr )^m = \sqrt[n]{(a^m)} = a^{\frac{m}{n}}$

Wenn Zähler und Nenner im Bruch gleich sind, erhalten wir $a^{(\frac{n}{n})} = a^1 = a$ . Wir können deshalb eine Wurzel mit Exponent $n$ loswerden, indem wir sie mit $n$ potenzieren. Auf gleiche Art wird eine Potenz mit Exponent $n$ mit der entsprechenden $n$ -ten Wurzel wieder aufgehoben.

$\Bigl (\sqrt[n]{a} \Bigr )^n = \sqrt[n]{(a^n)} = a$

Beispiel

Wie viel beträgt die Quadratwurzel von 4?

Mit der Quadratwurzel wird der Exponent $n=2$ gemeint, d.h. wir müssen die folgende Aufgabe lösen:

$b = \sqrt[2]{4}$

Wenn wir die ganze Gleichung quadrieren, erhalten wir rechts den Inhalt der Wurzel (Radikand):

$b^2 = (\sqrt[2]{4})^2 = 4$

Jetzt sind wir erstmals die Wurzel los und wir wissen $b^2=4$ . Spätestens jetzt benutzen wir $4=2^2$ . Wir können deshalb auch schreiben: $b^2=2^2$ oder

$\underline{b=2}$

Wir können diese Aufgabe auch anders lösen, indem wir $\sqrt[n]{(a^m)} = a^{\frac{m}{n}}$ benutzen:

$b=\sqrt[2]{4}=\sqrt[2]{2^2}=2^{\frac{2}{2}}=2^1=\underline{2}$

Normalform einer Wurzel

Unter der Normalform einer Wurzel verstehen wir eine Form, in welcher die Wurzel im Zähler und nicht im Nenner steht:

$q_0 \; + \; q_1 \cdot \sqrt{a_1} \; + \; q_2 \cdot \sqrt{a_2} \; + \; q_3 \cdot \sqrt{a_3} \; + \; ...$

Beispiel

Bringe den folgenden Ausdruck in die Normalform:

$\frac{2}{\sqrt{8}}$

Einen Wurzelausdruck in die Normalform zu bringen heisst in der Regel, ihn so zu erweitern, dass die Wurzel aus dem Nenner verschwindet. Hier erweitern wir den Bruch mit $\sqrt{8}$ :

$\frac{2 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{8}} = \frac{2\sqrt{8}}{8} = \frac{1}{4}\sqrt{8}$

Wir können die Wurzel auch noch genauer anschauen. Wir suchen eine Quadratzahl in ihrem Radikanden:

$= \frac{1}{4}\sqrt{4\cdot2} = \frac{1}{4} \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$

$= \underline{\frac{1}{2}\sqrt{2}}$

Beispiel

Bringe den folgenden Ausdruck in die Normalform:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}-3}$

Auch hier werden wir den Bruch geeignet erweitern, damit die Wurzel im Nenner verschwindet. Wir erinnern uns dazu an die binomische Formel

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Wenn wir im Nenner $(a-b)$ haben, können wir den Bruch mit $(a+b)$ erweitern und wir kriegen im Nenner $a^2-b^2$ . Das ist besonders dann praktisch, wenn $a$ oder $b$ eine Quadratwurzel ist, denn dadurch wird sie quadriert und verschwindet:

$\frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{15}+3)}{(\sqrt{15}-3)(\sqrt{15}+3)}$

$= \frac{\sqrt{3}\sqrt{15}+3\sqrt{3}}{(\sqrt{15})^2 - 3^2}$

$= \frac{\sqrt{45} + 3\sqrt{3}}{15-9}$

Das Innere der Wurzel $\sqrt{45}$ ist interessant, denn auch hier ist eine Quadratzahl versteckt:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5}$

$= \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot \sqrt{5}$

$= \frac{3\sqrt{5} + 3\sqrt{3}}{6}$

$= \underline{\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\sqrt{3}}$

Wurzeln

Beispiel

Normalform einer Wurzel

Beispiel

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Kosinus-Funktion

Wurzelziehen auf Tontafeln

Grenzwert

Integration durch Substitution

Strahlensätze

Hypergeometrische Verteilung

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Normalform einer Wurzel

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