Vom Kleinsten zum Grössten

Mit Hilfe der wissenschaftlichen Notation können wir unglaublich grosse Zahlen und auch unglaublich kleine Zahlen auf kompakte Art schreiben. Am Beispiel der realen Grössen in der Natur können wir erkennen, wie praktisch die wissenschaftliche Notation ist. Die kleinste Abmessung, die wir in der Physik kennen, ist die theoretisch berechnete Grösse des Universum zum Zeitpunkt des Urknalls in normaler und in wissenschaftlicher Notation:

$0.0000000000000000000000000000000001\,\text{m}$

$= 10^{-34}\,\text{m}$

Seither sind rund 13.8 Milliarden Jahre vergangen und das Universum ist heute das Grösste, was wir uns vorstellen können, wenn überhaupt. Seine theoretisch berechnete Grösse beträgt in normaler und in wissenschaftlicher Notation:

$100000000000000000000000000\,\text{m}$

$= 10^{26}\,\text{m}$

Wir können alles, was das Universum einschliesst, vom Kleinsten bis zum Grössten, mit der kompakten wissenschaftlichen Notation beschreiben, ohne dass wir uns mit dem Zählen von Nullen quälen müssen:

Grössenordnung

Der Trick der wissenschaftlichen Notation ist die Benützung von Zehnerpotenzen. Damit wird die Grössenordnung angegeben. Mit der Grössenordnung wird eine Klasse von Grössen gemeint, die mehr oder weniger gleich gross sind. Wir Menschen gehören in die Grössenordnung von »wenigen Metern»:

$1\,\text{m} \quad - \quad 9.9\,\text{m}$

Dazu gehören z.B. Tische, Autos, kleine Bäume etc. Sie sind alle in der gleichen Grössenordnung wie wir Menschen. In wissenschaftlicher Notation schreiben wir die Zehnerpotenz $10^0$ dazu. Beachten Sie, dass alles hoch null einfach eins ist.

$1\cdot10^{0}\,\text{m} \quad - \quad 9.9\cdot10^{0}\,\text{m}$

Eine Grössenordnung kleiner ist die von wenigen Dezimetern, d.h. 1 dm bis 9.9 dm. Dazu gehört z.B. unser Handy, ein Buch, ein Hocker, eine Katze etc.

$1\cdot10^{-1}\,\text{m} \quad - \quad 9.9\cdot10^{-1}\,\text{m}$

Die Grössenordnung grösser ist die von 10 m bis 99 m also z.B. Bäume, Lastwagen, Häuser, kleine Hügel etc. In wissenschaftlicher Notation schreiben wir:

$1\cdot10^{1}\,\text{m} \quad - \quad 9.9\cdot10^{1}\,\text{m}$

Mit der Zehnerpotenz klassifizieren wir die Grössen in Grössenordnungen. Das ist nicht besonders genau, aber es reicht zu sagen, dass Menschen und Autos etwa gleich gross sind, v.a. wenn wir sie mit anderen Grössenordnungen vergleichen. Wenn wir die Grösse der Erde vor Augen haben, sind Menschen und Autos wirklich etwa gleich gross oder eben sehr klein. Auch aus Sicht eines Bakteriums ist ein Mensch oder ein Auto etwa gleich riesig.

So geht’s!

Für grosse Zahlen schreiben wir einfach die Zehnerpotenz, wobei der Exponent einfach der Anzahl »Nullen» nach der ersten Ziffer entspricht:

$10 = 10^1$

$100 = 10^2$

$100'000'000 = 10^8$

Wenn wir jetzt eine Zahl haben, die von der reinen Zehnerpotenz abweicht, so schreiben wir einfach die Zahl mit einer Ziffer vor dem Komma und 2-4 Stellen nach dem Komma und multiplizieren dann mit der entsprechenden Zehnerpotenz:

$20 = 2 \cdot 10^1$

$2'500'000 = 2.5 \cdot 10^6$

$-7'954 = -7.954 \cdot 10^3$

Beachten Sie im letzten Beispiel, dass wir keine Nullen mehr haben. Es ist aber eine Zahl, die in die Grössenordnung der Tausender gehört. Statt Nullen können wir sagen, die Zahl hat nach der ersten Ziffer drei Stellen und deshalb $10^3$ . Wir haben jetzt nicht nur einen Tausender, sondern fast 8 Stück. Genauer gesagt sind es 7.954. Dann kommt noch hinzu, dass es eine negative Zahl ist, d.h. wir setzen zuvorderst ein Minuszeichen hin.

Für kleine Zahlen benutzen wir negative Exponenten. Wir wissen, dass ein negativer Exponent mit einem Kehrbruch geschrieben werden kann:

$0.1 = 10^{-1} = \frac{1}{10^1}$

$0.01 = 10^{-2} = \frac{1}{10^2}$

Wir können auch hier wieder die Anzahl Nullen nehmen, wobei wir die Null vor dem Komma auch mitzählen müssen:

$0.000'001 = 10^{-6}$

$0.0025 = 2.5 \cdot 10^{-3}$

$-0.7954 = -7.954 \cdot 10^{-1}$

Wichtig ist, dass Sie die beiden negativen Vorzeichen im letzten Beispiel richtig deuten: Das erste Vorzeichen zeigt an, dass es eine negative Zahl ist. Das zweite negative Vorzeichen (im Exponenten) bedeutet, dass die Zahl vom Betrag her kleiner eins ist. Es ist deshalb eine kleine Zahl.

Die wissenschaftliche Notation hat zwei Teile: Hinten steht die Zehnerpotenz, die die Grössenordnung angibt. Der Exponent der Zehnerpotenz ist positiv für Vielfache von Zehn und damit für grosse Zahlen. Für kleine Zahlen gilt die Regel mit dem Kehrbruch und der Exponent ist negativ.

Mit einer einstelligen Zahl und max. vier Stellen nach dem Komma wird angegeben, wie viele dieser Zehnerpotenz gemeint sind. Das Vorzeichen der Zahl unterscheidet zwischen positiven und negativen Zahlen.

Beispiel: Die Ladung eines Elektrons ist negativ und sehr klein:

$-1.602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$

Auf den meisten Taschenrechnern können Sie zwischen der normalen (normal), der wissenschaftlichen (science) und der sog. Ingenieurnotation (engineering) wechseln. In der wissenschaftlichen Notation gibt Ihnen der Taschenrechner beispielsweise folgendes Resultat:

$10+10 = \text{2E01}$

Gemeint ist damit $2 \cdot 10^1 = 20$ . Für die Zehnerpotenz wird »E» für Exponent angegeben. Sie können Zahlen in wissenschaftlicher Notation mit der »E» oder »EE»-Taste auch sehr einfach eingeben:

$-1.602 \cdot 10^{-19} = \text{-1.609E-19}$

Achten Sie aber auf die Verwendung der richtigen Minus-Taste, denn die meisten Taschenrechner unterscheiden zwischen der Minus-Vorzeichen-Taste und der Minus-Subtraktion-Taste.

Beispiel

Schreiben Sie die folgenden Grössen um in Metern und Benützen Sie die wissenschaftliche Notation:

a) Durchmesser der Erde: 12‘742 km

b) Ein Lichtjahr: 9‘461‘000‘000‘000 km

c) Durchmesser eines Wasserstoffatoms: 0.000‘000‘1 mm

Zuerst ermitteln wir die Grössenordnung. Es handelt sich hier um eine »Zehntausenderzahl», denn wir haben nach der eins vier Stellen, die folgen. Somit:

$12'742\,\text{km} = 1.2742 \cdot 10^{4}\,\text{km}$

Jetzt haben wir aber immer noch Kilometer statt Meter. Wir wissen, dass 1 km = 1000 m oder in wissenschaftlicher Notation geschrieben: 1 km = $10^3$ m. Wir setzen dies oben ein und erinnern uns, dass wenn zwei Zahlen mit gleicher Basis miteinander multipliziert werden, wir einfach die Exponenten addieren können:

$12'742\,\text{km} = 1.2742 \cdot 10^{4} \cdot 10^3\,\text{m} = 1.2742 \cdot 10^{4+3}\,\text{m} = \underline{1.2742 \cdot 10^7\,\text{m}}$

In der zweiten Teilaufgabe zählen wir zuerst die Stellen nach der 9: Wir haben 12 Stellen, d.h.

$9'461'000'000'000\,\text{km} = 9.461 \cdot 10^{12}\,\text{km}$

Jetzt ersetzen wir die Kilometer mit $10^3$ m und erhalten:

$9'461'000'000'000\,\text{km} = 9.461 \cdot 10^{12} \cdot 10^3\,\text{m} = 9.461 \cdot 10^{12+3} \,\text{m} = \underline{9.461 \cdot 10^{15} \,\text{m}}$

Wir zählen zuerst die Nullen und ermitteln so die Zehnerpotenz:

$\quad 0.000'000'1\,\text{mm} = 1 \cdot 10^{-7}\,\text{mm}$

Jetzt müssen wir die Millimeter in Meter umwandeln. Wir benutzen 1 mm = $\frac{1}{10^3}$ m = $10^{-3}$ m, da ein Millimeter ein Tausendstel von einem Meter ist.

$\quad 0.000'000'1\,\text{mm} = 1 \cdot 10^{-7} \cdot 10^{-3}\,\text{m} = 1 \cdot 10^{-7-3} \,\text{m} = \underline{1 \cdot 10^{-10} \,\text{m}}$

Verwendung von Präfixen

In den Naturwissenschaften werden die Zehnerpotenzen mit Präfixen (»Vorsilbe») benannt. Geschrieben wird aber nur ein Buchstabe, der für den Namen des Präfixes steht. Der Vorteil: Statt »zwei Mal zehn hoch 3 Meter» sagt man einfach »zwei Kilometer»:

$2 \cdot 10^3 \,\text{m} = 2 \,\text{k}\text{m}$

$5.6 \cdot 10^-6 \,\text{g} = 5.6 \,\mu\text{g}$

Im ersten Beispiel wurde $10^3$ durch »kilo» bzw. k ersetzt. Im zweiten Beispiel haben wir statt $10^{-6}$ einfach den griechischen Buchstaben $\mu$ (»mü») eingesetzt für das Präfix »micro». Es handelt sich hier um 5.6 Mikrogramm.

Die Grössenordnungen werden, mit ein paar wenigen Ausnahmen, nur für alle drei Zehnerpotenzen spezielle bezeichnet. Die Zahl vor der Zehnerpotenz lässt man dafür bis zu drei Stellen anwachsen, bevor man zum nächsten Präfix wechselt. In der folgenden Tabelle wird die Verwendung von Präfixen gezeigt am Beispiel der Einheiten Meter m und Hertz Hz. Der Grund: Es ist unüblich die Präfixe Mega und Giga für Meter einzusetzen. Bei den Frequenzen sind aber MHz und GHz sehr üblich.

Präfixe für kleine Zahlen

y	yocto	$10^{-24}$
z	zepto	$10^{-21}$
a	atto	$10^{-18}$
f	femto	$10^{-15}$
p	pico	$10^{-12}$
n	nano	$10^{-9}$
µ	micro	$10^{-6}$
m	milli	$10^{-3}$
c	centi	$10^{-2}$
d	deci	$10^{-1}$

(Beachte: Die kursiven Präfixe werden selten benutzt)

Präfixe für grosse Zahlen

da	deca	$10^{1}$
h	hecto	$10^{2}$
k	kilo	$10^{3}$
M	Mega	$10^{6}$
G	Giga	$10^{9}$
T	Tera	$10^{12}$
P	Peta	$10^{15}$
E	Exa	$10^{18}$
Z	Zetta	$10^{21}$
Y	Yotta	$10^{24}$

(Beachte: Die kursiven Präfixe werden selten benutzt)

Beispiel

Schreiben Sie die folgenden Grössen mit Hilfe der wissenschaftlichen Notation und unter Verwendung der Präfixe.

a) Durchmesser eines menschlichen Haares: 0.000’007 m

b) Schubkraft eines Raketenantriebs: 1’800’000 N

c) Leistung eines Kernkraftwerks: 1’020’000’000 W

d) Masse eines Zuckerkorns: 0.000’625 g

$\quad 0.000'007\,\text{m} = 7 \cdot 10^{-6}\,\text{m} = \underline{7\,\mu\text{m}}$

$\quad 1'800'000\,\text{N} = 1.8 \cdot 10^{6}\,\text{N} = \underline{1.8\,\text{MN}}$

$\quad 1'020'000'000\,\text{W} = 1.02 \cdot 10^{9}\,\text{W} = \underline{1.02\,\text{GW}}$

$\quad 0.000'625\,\text{g} = 6.25 \cdot 10^{-4}\,\text{g} = 625 \cdot 10^{-6}\,\text{g} = \underline{625\,\mu\text{g}}$

Verwendungen von Präfixen bei Flächen und Volumina

Wir wissen, dass Meter für Strecken benutzt werden. Für Flächen werden Quadratmeter und für Volumina Kubikmeter benutzt. Hier möchten wir uns anschauen, wie wir umrechnen müssen, wenn wir Präfixe haben.

Beispiel

Ein Rechteck hat die Seitenlängen 2 cm und 3 cm. Wie viel beträgt die Fläche in Quadratmetern?

Für die Fläche müssen wir nur die beiden Strecken miteinander multiplizieren, kriegen dann aber die Einheit $\text{cm}^2$ :

$A = 2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2$

Mit der wissenschaftlichen Notation können wir beide Seitenlängen in Metern ausdrücken:

$A = (2 \cdot 10^{-2} \,\text{m}) \cdot (3 \cdot 10^{-2} \,\text{m}) = 2 \cdot 3 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-2} \cdot \text{m} \cdot \text{m} = \underline{6 \cdot 10^{-4}\, \text{m}^2}$

Beispiel

Wie viel beträgt ein halber Liter (0.5 dm $^3$ ) in Kubikmetern?

Wir schreiben einfach das Volumen neu auf, indem wir den Präfix $\text{d}$ mit $10^{-1}$ ersetzen:

$0.5\,\text{dm}^3 = 0.5 \cdot (10^{-1}\,\text{m})^3$

Achten Sie darauf, dass die Einheit $\text{dm}$ gewissermassen eine unsichtbare Klammer um sich herum hat, d.h. nicht nur die Meter sind hoch drei, sondern der Präfix deci auch. Wir haben deshalb eine Klammer geschrieben. Jetzt rechnen wir die dritte Potenz für den Inhalt der Klammer, d.h. wir machen $\text{d}$ hoch drei und $\text{m}$ hoch drei:

$0.5 \cdot (10^{-1}\,\text{m})^3 = 0.5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3$

Schliesslich können wir noch vereinfachen:

$0.5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3 = \underline{5 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^3}$

Beispiel

Was ist das Volumen einer Blutzelle mit Präfixen ausgedrückt?

$V = 10^{-16}\,\text{m}^3$

Da es sich um ein Volumen handelt, möchten wir einen Exponenten haben, der eine Dreierzahl ist. Wir schreiben deshalb:

$V = 10^{-16}\,\text{m}^3 = 10^2 \cdot 10^{-18}\,\text{m}^3 = 100 \cdot (10^{-6}\,\text{m})^3 = 100 \cdot (\mu\text{m})^3$

Somit können wir das Volumen in $\mu\text{m}$ schreiben:

$V = 100 \cdot (\mu\text{m})^3 = \underline{100\,\mu\text{m}^3}$

$0.000'000'002$ m	$2 \cdot 10^{-9}$ m	$2 \cdot 10^{-9}$ m	2 nm	nano
$0.000'000'02$ m	$2 \cdot 10^{-8}$ m	$20 \cdot 10^{-9}$ m	20 nm
$0.000'000'2$ m	$2 \cdot 10^{-7}$ m	$200 \cdot 10^{-9}$ m	200 nm
$0.000'002$ m	$2 \cdot 10^{-6}$ m	$2 \cdot 10^{-6}$ m	2 µm	micro
$0.000'02$ m	$2 \cdot 10^{-5}$ m	$20 \cdot 10^{-6}$ m	20 µm
$0.000'2$ m	$2 \cdot 10^{-4}$ m	$200 \cdot 10^{-6}$ m	200 µm
$0.002$ m	$2 \cdot 10^{-3}$ m	$2 \cdot 10^{-3}$ m	2 mm	milli
$0.02$ m	$2 \cdot 10^{-2}$ m	$20 \cdot 10^{-3}$ m	20 mm
$0.2$ m	$2 \cdot 10^{-1}$ m	$200 \cdot 10^{-3}$ m	200 mm
$2$ m	$2 \cdot 10^{0}$ m	$2 \cdot 10^{0}$ m	2 m	(kein Präfix)
$20$ m	$2 \cdot 10^{1}$ m	$20 \cdot 10^{0}$ m	20 m
$200$ m	$2 \cdot 10^{2}$ m	$200 \cdot 10^{0}$ m	200 m
$2'000$ m	$2 \cdot 10^{3}$ m	$2 \cdot 10^{3}$ m	2 km	kilo
$20'000$ m	$2 \cdot 10^{4}$ m	$20 \cdot 10^{3}$ m	20 km
$200'000$ m	$2 \cdot 10^{5}$ m	$200 \cdot 10^{3}$ m	200 km
$2'000'000$ Hz	$2 \cdot 10^{6}$ Hz	$2 \cdot 10^{6}$ Hz	2 MHz	Mega
$20'000'000$ Hz	$2 \cdot 10^{7}$ Hz	$20 \cdot 10^{6}$ Hz	20MHz
$200'000'000$ Hz	$2 \cdot 10^{8}$ Hz	$200 \cdot 10^{6}$ Hz	200MHz
$2'000'000'000$ Hz	$2 \cdot 10^{9}$ Hz	$2 \cdot 10^{9}$ Hz	2 GHz	Giga
$20'000'000'000$ Hz	$2 \cdot 10^{10}$ Hz	$20 \cdot 10^{9}$ Hz	20GHz
$200'000'000'000$ Hz	$2 \cdot 10^{11}$ Hz	$200 \cdot 10^{9}$ Hz	200GHz

Wissenschaftliche Notation

Vom Kleinsten zum Grössten

Grössenordnung

So geht’s!

Beispiel

Verwendung von Präfixen

Beispiel

Verwendungen von Präfixen bei Flächen und Volumina

Beispiel

Beispiel

Beispiel

Ereignisalgebra

Monotonie von Folgen

Grösster gemeinsamer Teiler (ggT)

Exponentieller Zerfall

Punkt und Gerade

Addition und Subtraktion von Brüchen

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So geht’s!

Beispiel

Verwendung von Präfixen

Beispiel

Verwendungen von Präfixen bei Flächen und Volumina

Beispiel

Beispiel

Beispiel

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