Potenzen

Eine Potenz ist eine Zahl, die um bestimmte Male mit sich selber multipliziert wird. Einfaches Beispiel: Das Quadrat von 3 ist 3^2 = 9. Dabei ist 9 die zweite Potenz von 3. Die dritte Potenz von 3 wäre 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27.

Eigenschaften von Potenzen

Eine Potenz wird ausgedrückt durch zwei Zahlen: Die Basis und der Exponent:

    \[ \text{Potenz} = \text{Basis}^{\text{Exponent}} \]

a wird n-fach mit sich selbst multipliziert und ergibt den Wert der Potenz b:

    \[ b = a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a \]

In der Regel betrachten wir nur positive Basen: a>0

Grosse Zahlen mit positiven Exponenten:

    \[ a^0=1 \qquad a^1=a \qquad a^2=a \cdot a \quad ... \quad a^n\]

Kleine Zahlen mit negativen Exponenten:

    \[ a^{-1}=\frac{1}{a} \qquad a^{-2}=\frac{1}{a^2} \quad ... \quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

Mit Potenzen können wir in kompakter Weise sehr grosse oder sehr kleine Zahlen schreiben: z.B. wissenschaftliche Notation:

    \[ N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \]

    \[ 10^{23} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot ... \cdot 10 = 100'000'000'000'000'000'000'000 \]

    \[ m_e = 9.109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} = \frac{9.109}{10^{31}}\,\text{kg} \]

    \[ 10^{-31} = \frac{1}{10'000'000'000'000'000'000'000'000'000'000} \]

N_A ist die Avogradro-Zahl, die uns die Anzahl Atome oder Moleküle in einem Mol angibt. m_e ist die Masse eines Elektrons. Die Potenz beschreibt hier, wie 9.31 kg genau 31-mal durch 10 dividiert werden müssen. So klein ist die Masse eines Elektrons!

Mit einem positiven Exponenten können wir sehr grosse Zahlen kompakt ausdrücken. Mit einem negativen Exponenten können wir durch sehr grosse Zahlen teilen und somit sehr kleine Zahlen ausdrücken. Was liegt dazwischen? Der Exponent null und die Zahl eins. Sie steht in der Mathematik für weder gross noch klein. Wenn wir mit eins multiplizieren, bleibt alles beim Alten.

Wir merken uns: Jede beliebige Basis a, potenziert mit null, ergibt immer eins.

Stärke der Bindung

Erinnerst du dich noch an den Spruch «Punkt vor Strich» ? Damals ging es darum, dass Multiplikationen und Divisionen stärker binden als Additionen und Subtraktionen, d.h. um Produkte oder Brüche herum müssen wir uns eine Klammer denken. Jetzt kommen die Potenzen hinzu und die binden noch stärker als Multiplikationen und Divisionen. Auch hier müssen wir uns eine noch stärkere unsichtbare Klammer vorstellen.

    \[ x+2y^2z \;\; = \;\; x + \Big(2\cdot (y^2) \cdot z \Big) \]

Das Gleiche gilt auch für Wurzeln, die auch Potenzen sind:

    \[ x+2y^{\frac{1}{2}}z \;\; = \;\; x + \Big( 2 \cdot (y^{\frac{1}{2}}) \cdot z \Big) \]

    \[ = x+2\sqrt{y}z \;\; = \;\; x + \Big(2 \cdot (\sqrt{y}) \cdot z \Big) \]

Stärke der Bindung:

    \[ \text{(Potenzen, Wurzeln)} \quad > \quad \text{(Multiplikation, Division)} \quad > \quad \text{(Addition, Subtraktion)} \]

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