Multiplikation von Polynomen

Wir schauen uns zuerst den Fall von Binomen an, d.h. Polynomen, die aus zwei Summanden bestehen. Wenn du zwei solche Binome miteinander multiplizierst, musst du folgendermassen vorgehen: Du nimmst zuerst den ersten Term im linken Binom und multiplizierst diesen mit den Termen des rechten Binoms nacheinander. Jedes Mal wird das Resultat der Multiplikation addiert. Wenn wir mit dem ersten Term des linken Binoms fertig sind, gehen wir zum zweiten Term und multiplizieren nochmals mit allen Termen des rechten Binoms.

$(a_1+a_2) \cdot (b_1+b_2)$

$= a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2 \,\,\, + \,\,\, a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Beispiel

Berechne das Produkt der folgenden zwei Binome und schreibe das Resultat als Polynom von $x$ auf.

$(a+2b) \cdot (3x-4)$

$= a \cdot 3x - a \cdot 4 \,\, + \,\, 2b \cdot 3x - 2b \cdot 4$

$= 3ax +6bx - 4a - 8b$

$= \underline{(3a+6b) \cdot x \;-\; (4a+8b)}$

Für Polynome mit drei Summanden multiplizieren wir in der gleichen Weise, zuerst den ersten Summanden mal die drei rechts, dann den Zweiten mal die drei rechts, dann den Dritten mal die drei rechts:

$(a_1+a_2+a_3) \cdot (b_1+b_2+b_3)$

$= a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_1 b_3 + a_2 b_1$

$+ a_2 b_2 + a_2 b_3 + a_3 b_1 + a_3 b_2 + a_3 b_3$

Binomische Formeln

Wir nehmen ein möglichst allgemeines Binom, das aus den zwei Summanden $a$ und $b$ besteht. Wir werden v.a. die Kombinationen der Binome $(a+b)$ und $(a-b)$ uns näher anschauen.

Die Multiplikation von $(a+b)$ mit sich selbst ergibt:

$(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b)$

$= a^2 + ab + ba + b^2$

$= a^2 + 2ab + b^2$

Zuerst multiplizieren wir das linke $a$ mit dem rechten $a$ , dann wieder das linke $a$ mit dem rechten $b$ , dann das linke $b$ mit dem rechten $a$ und schliesslich das linke $b$ mit dem rechten $b$ . Die beiden Terme $ab + ba$ sind ja gleich, also können wir sie zusammenlegen zu $2ab$ .

Die zweite binomische Formel erhalten wir auf analoge Weise:

$(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b)$

$= a^2 - ab - ba + b^2$

$= a^2 - 2ab + b^2$

Schliesslich schauen wir uns noch das gemischte Produkt an:

$(a+b) \cdot (a-b)$

$= a^2 - ab + ba - b^2$

$= a^2 - b^2$

Damit haben wir die drei binomischen Formeln erhalten, die wir unbedingt auswendig lernen sollten (siehe Kasten). Sie kommen so oft vor, dass es sich dafür wirklich lohnt. Wenn wir sie einmal gut kennen, können wir viele Aufgaben elegant lösen.

Die binomischen Formeln:

$(a+b)^2 \; = \; a^2 + 2ab + b^2 \hspace{2cm} \text{(1)}$

$(a-b)^2 \; = \; a^2 - 2ab + b^2 \hspace{2cm} \text{(2)}$

$(a+b) \cdot (a-b) \; = \; a^2 - b^2 \hspace{2cm} \text{(3)}$

Beispiel

Welches Binom ergibt das Polynom $x^2-6x+9$ wenn wir es quadrieren?

Wir erkennen die Struktur der zweiten binomischen Formel, denn der erste und der letzte Term sind beides Quadrate und der mittlere Term ist negativ.

$x^2-6x+9 = a^2 - 2ab + b^2$

Wenn wir uns den ersten Term anschauen, erhalten wir $a=x$ . Der letzte Term gibt uns dann $b=3$ . Der mittlere Term dient uns schliesslich als Kontrolle:

$2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$

Wir können deshalb schreiben:

$x^2-6x+9 = a^2 - 2ab + b^2$

$= (a-b)^2 = \underline{(x-3)^2}$

Faktorzerlegung von Polynomen

Für das Kürzen von Brüchen haben wir den Trick mit der Primfaktorenzerlegung angeschaut. Sobald wir sehen, aus welchen Primfaktoren der Zähler und der Nenner aufgebaut sind, können wir die gemeinsamen Primfaktoren oben und unten wegkürzen. Wir wenden die gleiche Idee an Polynomen an.

Beispiel

Kürze den folgenden Bruch, indem du die beiden Faktorzerlegungen benutzt:

$\frac{x^3 + 2x^2 - x - 2}{3x^4 + 13x^3 + 11x^2 - 13x - 14}$

$(x+2) \cdot (x-1) \cdot (x+1) \;\; = \;\; x^3 + 2x^2 - x - 2$

$(x+2) \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (3x+7) \;\; = \;\; 3x^4 + 13x^3 + 11x^2 - 13x - 14$

Wir ersetzen den Zähler und den Nenner mit der entsprechenden Faktorzerlegung, die uns gegeben ist:

$\frac{x^3 + 2x^2 - x - 2}{3x^4 + 13x^3 + 11x^2 - 13x - 14} \; = \; \frac{(x+2) \cdot (x-1) \cdot (x+1)}{(x+2) \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (3x+7)}$

Jetzt, wo wir die Teiler in den Polynomen sehen, können wir die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner wegkürzen:

$= \frac{\cancel{(x+2)} \cdot \cancel{(x-1)} \cdot \cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+2)} \cdot \cancel{(x-1)} \cdot \cancel{(x+1)} \cdot (3x+7)}$

$= \underline{\frac{1}{3x+7}}$

Im obigen Beispiel konnten drei Faktoren aus dem Nennerpolynom herausgekürzt werden, da die gleichen Faktoren im Zählerpolynom vorkamen. Ohne die Zerlegung der Polynome in ihre Faktoren, hätten wir dies nicht erkennen können.

Für die Zerlegung eines Polynoms in seine Faktoren gibt es die folgenden Techniken, die wir nacheinander anschauen werden:

Gemeinsame Faktoren ausklammern
Mehrfaches Ausklammern
Anwendung binomischer Formeln
Klammeransatz

Gemeinsame Faktoren ausklammern

Als erstes schauen, ob wir einen gemeinsamen Faktor in den verschiedenen Termen des Polynoms erkennen. Wenn beispielsweise alle Faktoren gerade Zahlen sind, so können wir eine 2 ausklammern. Wenn alle Terme die Variable $x$ beinhalten, dann können wir $x$ ausklammern etc.

Beispiel

Finde den gemeinsamen Faktor und klammere ihn aus:

$39x^3 + 63x^2 + 3x$

Wir sehen, dass in allen Summanden mindestens $x$ vorkommt, d.h. wir können $x$ ausklammern:

$= x \cdot (39x^2 + 63x + 3 )$

Jetzt schauen wir, ob 39 und 63 Dreierzahlen sind, denn das ist das Einzige, was uns der letzte Summand 3 noch zulässt. Da dies der Fall ist, können wir jetzt auch noch 3 ausklammern:

$= \underline{3x \cdot (13x^2 + 21x + 1)}$

Mehrfaches Ausklammern

Diese Methode braucht zugegebenermassen auch ein bisschen Glück, wie du es am folgenden Beispiel erkennen wirst. Du erkennst einen gemeinsamen Faktor, jedoch ist er nicht für alle Terme im Polynom gemeinsam, sondern nur für ein paar davon. Für diese klammerst du den gemeinsamen Faktor aus. Für die anderen klammerst du einen anderen gemeinsamen Faktor aus.

Nach diesem ersten Schritt brauchst du eben ein bisschen Glück und erkennst, dass du einen ganzen Klammerterm ausklammern kannst.

Beispiel

Zerlege den folgenden Ausdruck in Faktoren mit der Methode «mehrfaches Ausklammern»:

$ax + 2bx - 2by - ay$

Du erkennst den gemeinsamen Faktor $a$ in zwei Termen und den gemeinsamen Faktor $2b$ in den beiden mittleren Termen. Jetzt klammerst du die gemeinsamen Faktoren entsprechend aus:

$a \cdot (x - y) + 2b \cdot (x - y)$

Jetzt siehst du, dass der Faktor $(x-y)$ gemeinsam ist und auch ausgeklammert werden kann:

$= \underline{(x - y) \cdot (a + 2b)}$

Anwendung binomischer Formeln

In einem Polynom könnte eine binomische Formel versteckt sein. Wenn wir diese gut kennen, können wir sie im Polynom erkennen und somit auf einfache Weise zu den zwei Faktoren gelangen.

Beispiel

Wenden Sie die binomischen Formeln an, um den folgenden Ausdruck in Faktoren zu zerlegen:

$56fg + 49f^2 + 16g^2$

Du erkennst im Polynom zwei Quadratterme: $49f^2$ ist das Quadrat von $7f$ und $16g^2$ ist das Quadrat von $4g$ . Jetzt schaust du dir den mittleren Term an. Er hat ein positives Vorzeichen, d.h. es könnte sich um die erste binomische Formel $a^2+2ab+b^2$ handeln. Wenn dem so ist, dann müsste der mittlere Term $2ab$ entsprechen.

Aus den Quadrattermen folgt: $a=7f$ und $b=4g$ . Somit ist $2ab=2 \cdot 7f \cdot 4g=56fg$ . Es stimmt! Das Polynom ist wirklich eine versteckte binomische Formel:

$49f^2 + 56fg + 16g^2 = \underline{(7f + 4g)^2}$

Klammeransatz

Diese letzte Strategie, könnte auch »intuitives und geschicktes Raten» genannt werden. Wir betrachten dazu folgenden allgemeinen Fall mit den Unbekannten $a$ und $b$ :

$(x+a) \cdot (x+b) \;\; = \;\; x^2 + xb + ax + ab$

$= x^2 + x \cdot (a+b) + (a \cdot b)$

$= x^2 + (a+b) \cdot x + (a \cdot b)$

Wichtig ist hier, dass wir in der Mitte die Summe von $a$ und $b$ haben: $(a+b)$ . Hinten haben wir das Produkt von $a$ und $b$ , nämlich $(a \cdot b)$ . Das ist, was wir suchen. In der Mitte eine Summe, am Ende ein Produkt von den beiden gleichen Faktoren.

Beispiel

Finde die Teiler des folgenden Polynoms mit dem Klammeransatz:

$x^2 + 8x + 15$

Eine binomische Formel ist es nicht, da 15 keine Quadratzahl ist und hier auch keine Wurzeln vorkommen. Wir sehen, dass wir im mittleren Term vielleicht die Summe $(3+5)=8$ haben und hinten das Produkt $(3 \cdot 5)=15$ . Das führt uns zu folgendem Ansatz:

$(x+3) \cdot (x+5)$

Das Ausmultiplizieren führt zu:

$(x+3) \cdot (x+5) = x^2 + 5x + 3x + 15$

$= x^2 + 8x + 15$

Somit haben wir die Teiler des Polynoms gefunden:

$x^2 + 8x + 15 = \underline{(x + 3) \cdot (x + 5)}$

Am folgenden Beispiel soll gezeigt werden, wie wir mit Hilfe der vorgestellten Strategien einen Bruch mit zwei Polynomen erfolgreich kürzen können:

Beispiel

Kürze den folgenden Bruch:

$\frac{2k^3-10k^2+12k}{k^2-4}$

Jetzt versuchen wir die beiden Polynome in Faktoren zu zerlegen. Das Polynom im Zähler hat einen gemeinsamen Faktor, nämlich $2k$ :

$2k^3-10k^2+12k = 2k \cdot (k^2-5k+6)$

Im Polynom rechts, erkennen wir keine binomische Formel, d.h. wir müssen die Faktoren raten. Aus dem (-5) und der 6 kommen wir auf die Idee: $-2-3=-5$ und $(-2) \cdot (-3) = 6$ , d.h. es könnte sich um folgende Faktoren handeln:

$(k-2) \cdot (k-3)$

$= k^2 -3k -2k + 6$

$= k^2 -5k + 6$

Wir haben richtig geraten! Das Zählerpolynom enthält somit die folgenden Faktoren:

$2k^3-10k^2+12k$

$= 2k \cdot (k-2) \cdot (k-3)$

Nun schauen wir uns das Polynom im Nenner an:

$k^2-4$

Gemeinsame Faktoren gibt es nicht, aber sowohl $k^2$ , wie auch 4 sind beides Quadratterme und das Minuszeichen verrät uns die versteckte dritte binomische Formel: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$k^2-4 = (k+2) \cdot (k-2)$

Jetzt stellen wir den Bruch wieder auf und die Polynome drücken wir mit ihren Faktoren aus. Gleich erkennen wir die gemeinsamen Faktoren, die herausgekürzt werden können:

$\frac{2k \cdot \cancel{(k-2)} \cdot (k-3)}{(k+2) \cdot \cancel{(k-2)}}$

$= \underline{\frac{2k(k-3)}{(k+2)}}$

Damit ist der Bruch vollständig gekürzt.

Teiler von Polynomen

Multiplikation von Polynomen

Beispiel

Binomische Formeln

Beispiel

Faktorzerlegung von Polynomen

Beispiel

Gemeinsame Faktoren ausklammern

Beispiel

Mehrfaches Ausklammern

Beispiel

Anwendung binomischer Formeln

Beispiel

Klammeransatz

Beispiel

Beispiel

Unabhängigkeit

Gleichung eines Kreises

Gleichung einer Geraden

Wurzelziehen auf Tontafeln

Zentrische Streckung

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

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Binomische Formeln

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Faktorzerlegung von Polynomen

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Gemeinsame Faktoren ausklammern

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Klammeransatz

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