Multiplikation und Division von Brüchen

vonDavid John Brunner überarbeitet am

Multiplikation

Multiplikation von Brüchen: Einerseits werden die Zähler miteinander multipliziert und andererseits die Nenner miteinander multipliziert. Das Produkt der Zähler ergibt uns den neuen Zähler. Das Produkt der Nenner liefert den neuen Nenner:

    \[ \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2} \;\; = \;\; \frac{a_1 \cdot a_2}{b_1 \cdot b_2} \]

Beispiel

Berechne und kürze soweit möglich:

    \[ \frac{3a}{4} \cdot \frac{2}{5a} \]

Mit der Regel über die Multiplikation von Brüchen, vereinigen wir die beiden Brüche und multiplizieren die Zähler und die Nenner.

    \[ = \frac{3a \cdot 2}{4 \cdot 5a} = \frac{6\not{a}}{20\not{a}} = \underline{\,\frac{3}{10}\,} \]

Division und Doppelbrüche

Wenn wir einen Bruch durch einen anderen Bruch dividieren, schreiben wir als Erstes einmal einen Doppelbruch. Dann multiplizieren wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners:

    \[ \frac{a_1}{b_1} : \frac{a_2}{b_2} = \frac{\quad \frac{a_1}{b_1} \quad}{\frac{a_2}{b_2}} \]

    \[ = \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{b_2}{a_2} = \frac{a_1 \cdot b_2}{b_1 \cdot a_2} \]

Division durch einen Bruch = Multiplikation mit dem Kehrbruch

    \[ \frac{\;\;\;...\;\;\;}{...} \;:\; \frac{a}{b} \quad = \quad \frac{\;\;\;...\;\;\;}{...} \;\cdot\; \frac{b}{a} \]

Beispiel

Berechne den folgenden Doppelbruch:

    \[ \frac{\quad \frac{3}{4} \quad}{\frac{2}{5}} \]

Wir schreiben die Division als Multiplikation mit dem Kehrbruch:

    \[ \frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} \]

    \[ = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} \; = \; \underline{\frac{15}{8}} \]

Eine andere Art mit Doppelbrüchen umzugehen ist die Folgende: Im obigen Beispiel dividieren Sie die 3 durch 4 und irgendwie ja auch durch 2. Die 5 hingegen ist im Nenner des Nenners und dazu merken wir uns einfach, dass der Nenner im Nenner in den Zähler geht. Somit haben wir:

    \[ \frac{3}{4 \cdot 2} \cdot 5 \; = \; \underline{\frac{15}{8}} \]

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