Verteilungen

Wir nehmen wieder das gleiche Zufallsexperiment mit den gleichen Zahlen nach 20 Versuchen und nach 100 Versuchen. Dieses Mal legen wir nach jedem Wurf einen passenden «Ball» in das Fach der geworfenen Augenzahl. Damit entsteht eine Art Histogramm und die Höhe der Säule entspricht der absoluten Häufigkeit für das entsprechende Ereignis. Nach 20 Versuchen haben…

Zufallsgrösse Wenn wir die Summe der Augenzahlen von zwei Würfeln bilden, entsteht für jeden Wurf eine Zahl von 2 bis 12. Diese Zahlen können auf unterschiedlichste Art entstehen, z.B. kann die Summe 4 entstehen durch 1+3, durch 2+2 oder auch durch 3+1, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird. Wenn wir uns an die Definition einer Funktion…

Mit den Lage- und Streuungsmassen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen beurteilt und beschrieben. Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben meistens eine Wert der Zufallsgrösse, der besonders wahrscheinlich ist. Die Frage darüber, wo sich dieser Wert auf der -Achse befindet, beantworten die Lagemasse. Modus (Modalwert) Wir schauen uns ein erstes Beispiel an. Es ist ein Histogramm mit der Notenverteilung zweier Schüler. Alice (grün)…

Die Streuungsmasse beschreiben, wie stark mit anderen -Werten als z.B. dem Erwartungswert gerechnet werden muss. Bei starker Streuung, sind viele verschiedene -Werte wahrscheinlich. Bei schwacher Streuung sind grössere Abweichungen vom Erwartungswert eher unwahrscheinlich. In der obigen Abbildung sind zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen gezeigt, die beide den gleichen Erwartungswert haben. Die Verteilung ist schlanker und höher, d.h. die…

Bernoulli-Experimente Jakob I Bernoulli (1655 – 1705) war ein Schweizer Mathematiker und Physiker, der sich intensiv mit Zufallsexperimenten beschäftigte und wichtige Grundlagen der Stochastik begründete. Er untersuchte Zufallsexperimente, die nur zwei mögliche Ergebnisse haben, wie z.B. der Wurf einer Münze, der nur «Kopf» oder «Zahl» liefern kann. Hier ein paar Beispiele für solche Experimente, die…

Bei der Diskussion des Urnenmodells mit Zurücklegen hatten wir bereits eine Wahrscheinlichkeitsformel kennengelernt, die hier zur sog. hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung führt. Wir können sie eigentlich ganz gleich verstehen, wie die Binomialverteilung, jedoch mit dem Unterschied, dass sich die Wahrscheinlichkeit von Zug zu Zug ändert, weil die gezogene Kugel nicht mehr zurückgelegt wird. Die hypergeometrische Verteilung entsteht…

Hier kommen wir wirklich in der Welt der Statistik an. Bisher haben wir mit gegebenen Verteilungen gearbeitet oder haben diese Verteilungen aufgrund einer gegebenen Wahrscheinlichkeit bestimmt. Dann haben wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit ihrem Erwartungswert oder ihrer Standardabweichung beschrieben. Deshalb nennt sich dieser Teil der Statistik auch beschreibende Statistik. Nun kehren wir die Sache um. Wir…

Bei der Bestimmung des Vorhersageintervalls haben wir mit der Näherungsformel ein Werkzeug, um die linke und rechte Grenze zu bestimmen. Damals mussten wir die reellen Werte der berechneten Grenzen runden, um das Intervall in der diskreten Verteilung festzulegen. Wenn wir sehr grosse Stichproben haben ( sehr gross), dann hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung sehr viele Säulen, die…