Kombinatorik

Im obigen Beispiel haben wir gesehen, dass wir für den ersten Buchstaben drei Möglichkeiten hatten, was zu drei Hauptästen geführt hat. Für den zweiten Buchstaben gab es je zwei Möglichkeiten und für den dritten Buchstaben jeweils nur noch eine Möglichkeit, nämlich den übrig gebliebenen Buchstaben zu wählen. Im Baumdiagramm haben wir die Anzahl Möglichkeiten jeweils…

In der Stochastik ist das Urnenmodell ein beliebtest Anschauungsbeispiel. Es geht darum, dass wir uns eine imaginäre, mit Kugeln gefüllte Urne vorstellen. Das Konzept des Urnenmodells geht mindestens auf das antike Griechenland zurück. Im mathematischen Kontext, wie hier, geht das Urnenmodell auf den Schweizer Mathematiker und Physiker Jakob I Bernoulli (1655-1705) zurück, der das Urnenmodell…

Die -Tupel, die wir bis jetzt angeschaut haben, waren eine Anordnung von mathematischen Objekten in einer bestimmten Reihenfolge, z.B. für die Kugeln blau, rot und weiss oder für die Kugeln mit den Nummern 3 und 2. Wir haben bisher immer eine bestimmte Reihenfolge berücksichtigt, d.h.     Diese beiden 3-Tupel sind nicht gleich, aber sie…

Im deutschsprachigen Raum werden -Permutationen meistens Variationen genannt. Dieser neue Begriff kann verwirren. In der angelsächsischen Literatur gibt des den Begriff der Variation nicht. Vielmehr wird von -Permutationen gesprochen, was ich eigentlich auch sinnvoller finde, denn es handelt sich bei Variationen wirklich nur um Teil-Permutationen von Objekten aus der Grundmenge . Wie bei den Permutationen…

Mit den Kombinationen kommt ein neuer Aspekt zum Tragen. Bei den Permutationen und k-Permutationen haben wir bisher immer die Reihenfolge berücksichtigt. Das mussten wir fast, denn wenn wir die Reihenfolge nicht berücksichtigen, können wir gar nicht über die Anzahl möglicher Permutationen oder k-Permutation reden. Wenn die Objekte , und da sind und es nicht mehr…

Der Binomialkoeffizient ist eine Rechenvorschrift für zwei (natürliche) Zahlen und . In der Kombinatorik wird er sehr viel benutzt, weil er die Schreibweise wesentlich vereinfacht. Geschrieben wird er mit einer grossen Klammer und der Zahl oben und der Zahl unten:     Ausgesprochen wir er «n über k» oder «n tief k». Auf dem Taschenrechner…

Beim Lösen von Kombinatorikaufgaben ist es wichtig, den Überblick zu bewahren. Wenn wir uns mit Kombinationen aller Elemente beschäftigen und nicht mit einer Auswahl von Stück aus allen möglichen Elementen, dann handelt es sich um eine klassische Permutation. Hier müssen wir nur noch unterscheiden, ob wir sich wiederholende Elemente haben oder nicht: Die Anzahl möglicher…