Vektoren

Definitionen Eine Abbildung von einem Punkt auf einen Punkt wird durch einen Vektor beschrieben. Die Änderung der -Koordinate () steht in der Klammer oben, unten steht die Änderung der -Koordinate ():     Vektoren haben eine Richtung und eine Länge. Die Länge wird durch die sog. Norm ausgedrückt und mit dem Satz von Pythagoras berechnet:…

Wir schauen uns ein Beispiel an und addieren die beiden Vektoren und . Wir addieren dabei die Koeffizienten der gleichen Dimension und erhalten so einen neuen Vektor:         Es wird sofort klar, dass wir auch in der anderen Reihenfolge addieren können und dabei das gleiche Resultat erhalten:         Nun…

Wenn wir z.B. den Vektor vom Vektor subtrahieren müssen, benutzen wir den Gegenvektor von . So können wir jederzeit aus einer Subtraktion wieder eine Addition von zwei Vektoren machen, die wir ja kennen. Für die Subtraktion von zwei Vektoren brauchen wir den Gegenvektor von : Wir addieren mit dem Gegenvektor von :     Beispiel…

Nehmen wir einen Vektor und addieren ihn dreimal, so entsteht das Dreifache des Vektors:     Die Richtung des Vektors wird beibehalten. Die Länge wird verdreifacht.             Wir können das jetzt auch verallgemeinern mit dem Faktor :     Wird ein Vektor mit einer Zahl (Skalar) multipliziert, so multipliziert sich…

Zwei Vektoren heissen kollinear, wenn sie zu einander parallel sind. Sie haben die gleiche Richtung oder sind exakt entgegengesetzt. Wir können die Vektoren in eine gemeinsame Gerade verschieben. In der obigen Figur sind vier Vektoren gezeichnet, deren Start- und Endpunkte sich auf den Würfelflächen befinden. Die Vektoren und haben die gleiche Richtung. Sie sind zwar…

Die drei Vektoren , und heissen komplanar, wenn wir die drei Vektoren in eine gemeinsame Ebene verschieben können. Warum reden wir hier von drei Vektoren? Ganz einfach: Zwei Vektoren sind immer komplanar. Wir könnten deshalb keine Bedingung aufstellen. Bei drei Vektoren ist das anders. Zwei Vektoren spannen eine gemeinsame Ebene auf. Es ist aber nicht…

FAQ Vektorprodukt in der Komponentenschreibweise Bei der Einführung des Skalarprodukts haben wir gelernt, dass das Produkt einen Skalar, d.h. eine Zahl produziert. Das Vektorprodukt heisst natürlich so, weil das Produkt einen Vektor produziert. Statt Vektorprodukt findet man auch die Ausdrücke Kreuzprodukt, Vektorprodukt oder äusseres Produkt. Wir schauen uns ein erstes Beispiel an, ohne zu wissen,…