Zahl π
Durch Annäherung eines Kreises mit regelmässigen n-Ecks, gelang es Archimedes die Zahl π schon ziemlich genau einzugrenzen.
Satz des Pythagoras
Pythagoras von Samos (ca. 570 v. Chr. – 510 v. Chr.) war ein antiker griechischer Philosoph und Gründer einer einflussreichen religiös-philosophischen Bewegung. Vieles zu seiner Person ist umstritten oder Stoff von Legenden. Er gilt aber als einer der Begründer der Geometrie bzw. Mathematik. Der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria lebte wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v….
Höhensatz
Der Höhensatz ist der zweite Satz in der Satzgruppe des Pythagoras. Er zeigt, wie die Höhe die Grundseite in zwei Streckenabschnitte und aufteilt. Beachten Sie, dass es sich auch hier um ein rechtwinkliges Dreieck handeln muss. Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Höhe dem Produkt der beiden Streckenabschnitte und auf der Grundseite,…
Kathetensatz
Der Kathetensatz ist der dritte Satz in der Satzgruppe des Pythagoras. Er stellt eine Beziehung her zwischen einer Kathete und ihrem zugehörigen Streckenabschnitt bzw. auf der Hypotenuse. Kathetensatz: Das Quadrat der Kathete entspricht dem Produkt der Hypotenuse und dem entsprechenden Streckenabschnitt auf der Hypotenuse: Wir können den Kathetensatz wieder mit Quadratsflächen,…
Vektoren
Definitionen Eine Abbildung von einem Punkt auf einen Punkt wird durch einen Vektor beschrieben. Die Änderung der -Koordinate () steht in der Klammer oben, unten steht die Änderung der -Koordinate (): Vektoren haben eine Richtung und eine Länge. Die Länge wird durch die sog. Norm ausgedrückt und mit dem Satz von Pythagoras berechnet:…
Vektoren addieren
Wir schauen uns ein Beispiel an und addieren die beiden Vektoren und . Wir addieren dabei die Koeffizienten der gleichen Dimension und erhalten so einen neuen Vektor: Es wird sofort klar, dass wir auch in der anderen Reihenfolge addieren können und dabei das gleiche Resultat erhalten: Nun…
Vektoren subtrahieren
Wenn wir z.B. den Vektor vom Vektor subtrahieren müssen, benutzen wir den Gegenvektor von . So können wir jederzeit aus einer Subtraktion wieder eine Addition von zwei Vektoren machen, die wir ja kennen. Für die Subtraktion von zwei Vektoren brauchen wir den Gegenvektor von : Wir addieren mit dem Gegenvektor von : Beispiel…
Vektor mit einem Skalar multiplizieren
Nehmen wir einen Vektor und addieren ihn dreimal, so entsteht das Dreifache des Vektors: Die Richtung des Vektors wird beibehalten. Die Länge wird verdreifacht. Wir können das jetzt auch verallgemeinern mit dem Faktor : Wird ein Vektor mit einer Zahl (Skalar) multipliziert, so multipliziert sich…
Kollineare Vektoren
Zwei Vektoren heissen kollinear, wenn sie zu einander parallel sind. Sie haben die gleiche Richtung oder sind exakt entgegengesetzt. Wir können die Vektoren in eine gemeinsame Gerade verschieben. In der obigen Figur sind vier Vektoren gezeichnet, deren Start- und Endpunkte sich auf den Würfelflächen befinden. Die Vektoren und haben die gleiche Richtung. Sie sind zwar…
Komplanare Vektoren
Die drei Vektoren , und heissen komplanar, wenn wir die drei Vektoren in eine gemeinsame Ebene verschieben können. Warum reden wir hier von drei Vektoren? Ganz einfach: Zwei Vektoren sind immer komplanar. Wir könnten deshalb keine Bedingung aufstellen. Bei drei Vektoren ist das anders. Zwei Vektoren spannen eine gemeinsame Ebene auf. Es ist aber nicht…
