Lineare Gleichungssysteme

Grundform In den meisten Übungsaufgaben in der Mathematik oder Physik wird eine Grösse gesucht. Das Aufstellen einer Gleichung mit dieser Grösse als Unbekannte führt dann zur Lösung. In der Technik und Wissenschaft haben wir im Normalfall sehr viele Unbekannte, die alle miteinander verknüpft sind und sich gegenseitig beeinflussen. Um diese Probleme zu berechnen, werden ebenfalls…

Beim ersten Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei linearen Gleichungen hatten wir ein 2-Tupel als Lösung. Die beiden Zahlenwerte waren die Koordinaten des Schnittpunkts :     Wir wissen, dass zwei lineare Funktionen nicht immer genau eine Lösung haben. Wenn sie parallel sind, haben sie keine Lösung und wenn sie aufeinander liegen, gibt es -lich…

Der Unterschied zwischen den beiden Methoden ist nicht sehr gross. Die Methode des Einsetzens ist ein bisschen eleganter und praktischer als die des Gleichsetzens. Wir schauen uns wieder dasselbe lineare Gleichungssystem an, lösen es dieses Mal mit Einsetzen.      Mit der Gleichung (2) können wir einen Ausdruck für gewinnen:     Von jetzt an…

Beim Additionsverfahren, auch Eliminationsverfahren nach Gauss genannt, nutzen wir die Möglichkeit, Linearkombinationen von Gleichungen zu machen zu können. Bei der Besprechung der Gleichungen hatten wir gesehen, dass eine Gleichung beidseitig mit einem beliebigen Faktor (ausser null) multipliziert werden kann und dabei nichts an der Lösungsmenge der Gleichung ändert (Äquivalenzumformung). Wir können z.B. die einfache Gleichung…

Das folgende Gleichungssystem ist auf den ersten Blick nicht linear. Mit Hilfe einer Substitution können wir ein lineares Gleichungssystem entdecken, das sich dahinter versteckt:     Zuerst dividieren wir Gleichung durch und erhalten so:     Wir könnten jetzt gleich die beiden Gleichungen addieren. Wir führen aber eine Substitution ein, um das lineare Gleichungssystem sichtbarer…

Das folgende Gleichungssystem ist wegen der Quadrate offensichtlich nicht linear. Wir haben drei Unbekannte, d.h. wir können die Lösung im dreidimensionalen Raum veranschaulichen. Im dreidimensionalen Raum stellt dann eine Gleichung eine Punktschar dar, die eine Fläche ausmacht. Die erste Gleichung ist die Fläche einer Kugel mit Zentrum im Ursprung und mit Radius . Die zweite…