Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung der Funktion zurück, die abgeleitet worden ist, d.h. der Funktionswert der Ableitungsfunktion ist die Steigung an der betreffenden Stelle.
Funktionen und Umkehrfunktionen
Ich habe mir als Schüler damals die Funktionen wie einen Getränkeautomaten vorgestellt. Ich werfe eine Münze ein und der Automat gibt eine Cola-Flasche heraus. Werfe ich z.B. eine kleinere Münze ein, so kriege ich «nur» ein Wasser. Die Analogie stimmt aber nur dann, wenn wir einen etwas vereinfachten Automaten haben, der aufgrund der nur aufgrund…
Funktionsgleichungen
Wir werden jetzt die etwas umständliche Schreibweise für Funktionen vereinfachen und uns darauf konzentrieren, was die Funktion mit dem Input macht. Statt… …schreiben wir jetzt eine Funktionsgleichung: oder einfach Funktionsgleichungen werden oft abgekürzt geschrieben: Auf der rechten Seite steht, wie der Funktionswert mit Hilfe des Arguments berechnet…
Gerade und ungerade Funktionen
Die Eigenschaft gerade oder ungerade zu sein, ist nur für wenige Funktionen anwendbar. Die meisten Funktionen sind weder noch. Es ist aber eine wichtige und nützliche Eigenschaft, die wir immer wieder verwenden werden. Deshalb ist es wichtig, diese Eigenschaft zu kennen. Gerade Funktionen sind spiegelsymmetrisch bezüglich der -Achse: Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch bezüglich…
Monotonie
Eine Funktion ist monoton steigend, wenn sie immer zunimmt oder mindestens gleich bleibt, aber nie abnimmt. Analog gilt eine Funktion als monoton fallend, wenn sie immer nur gleich bleibt oder abnimmt, aber nie zunimmt. Unter streng monoton steigend oder fallend, verstehen wir immer steigend oder fallend und schliessen damit den Fall aus, in welchem die…
Stetigkeit
Funktionsgraphen, die durch kontinuierliche Punktscharen \textit{ohne} Unterbruch beschrieben werden, heissen stetig. Die Stetigkeit kann an bestimmten Punkten, den sog. Unstetigkeitsstellen, unterbrochen sein: Beispiel Finde die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktion. Um welche Art von Unstetigkeitsstellen handelt es sich? Wir erhalten die Unstetigkeitsstelle, indem wir das Nennerpolynom null stellen: Links können mit mit…
Wertetabelle und Funktionsgraph
Die Funktion weist dem Wert einen Funktionswert zu, den nennen wir und diesen weisen wir zu. Im -Koordinatensystem haben wir eine Zuordnung durch von einem bestimmten Wert auf den Wert : Wir können das für alle Werte von wiederholen und erhalten dann eine Punkteschar mit den Koordinaten , , etc. Alle Punkte zusammen…
Funktionen verschieben
Verschiebung in vertikaler Richtung Wir können den Funktionsverlauf im Koordinatensystem sehr einfach nach oben oder unten verschieben. Es reicht den Verschiebungsbetrag zum Funktionswert zu addieren und schon verschieben sich alle Punkte nach oben. Beispiel Verschiebe die Parabelfunktion so nach unten, dass der Achsabschnitt (-4) beträgt. Bestimme die neue Funktionsgleichung von und zeichne den Graphen ein….
Funktionen strecken und stauchen
Funktionen vertikal strecken und stauchen Wenn wir jeden Funktionswert mit einem Faktor multiplizieren, dann wird der Verlauf der Funktion von der -Achse her nach oben und nach unten gestreckt. Streckung des Funktionsverlaufs in vertikaler Richtung: Die Original-Funktion sei . Wir können einen neuen Funktionsgraphen erhalten, der um den Faktor in vertikaler Richtung gestreckt ist, mit:…
Definitions- und Wertebereich
Die Zahlenmenge der Werte, die die Funktion aufnehmen kann, nennen wir Definitionsbereich und die Menge der Zahlen, die die Funktion ausgibt, den Wertebereich . In unserer Analogie umfasst alle Arten von Münzen, die der Automat akzeptiert und enthält alle Produkte des Automaten. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuweisung von einem Element aus dem Definitionsbereich zu…
