Folgen

Beispiel Was sind die ersten fünf Glieder der Folge mit der folgenden expliziten Definition?                         Die Folge ist:      Mit der expliziten Definition wird jedes Glied der Folge durch einen mathematischen Ausdruck definiert, d.h. wir können jedes -te Glied direkt berechnen. Beispiel Wie…

Die Folge der natürlichen Zahlen () kann explizit ausgedrückt werden als . Sie kann aber auch anders beschrieben werden: Jedes Glied der Folge entspricht dem vorhergehenden Glied plus eins:     Die rekursive Definition erlaubt uns aus dem Glied das nächste Glied zu berechnen, dann mit Hilfe von wieder das Nächste, usw. Sobald wir in…

Die arithmetischen Folgen bilden eine Familie von unterschiedlichen Folgen, die jedoch eine ganz bestimmte Eigenschaft vereinen: Von einem Glied zum nächsten Glied wird immer der gleiche Betrag addiert. Mit haben wir wieder die Folge der natürlichen Zahlen, wenn . Mit kriegen wir eine fallende Folge, die z.B. beim Anfangswert beginnt und von da an immer…

Die geometrischen Folgen bilden auch eine Familie von Folgen mit einer gemeinsamen Eigenschaft. In der geometrischen Folge erhält man das nächste Glied, indem man immer das vorhergehende Glied mit dem gleichen Faktor multipliziert. Ist die Folge so definiert, dass von einem Glied zum nächsten immer der Wert des Glieds mit dem gleichen Faktor multipliziert wird,…

Der griechische Philosoph Zenon von Elea hat ca. 500 Jahre vor Christus gelebt. Ihm wird das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte zugeschrieben. Achilles, der beinahe unverwundbare Held soll ein Wettrennen mit einer Schildkröte antreten. Damit die offensichtlich langsamere Schildkröte eine Chance hat, erhält sie einen Vorsprung, sagen wir mal m. Beide starten gleichzeitig. Nachdem…

Eine Folge gilt als monoton steigend, wenn sie immer zunimmt oder mindestens gleich bleibt, aber nie abnimmt. Analog gilt eine Folge als monoton fallend, wenn sie immer nur gleich bleibt oder abnimmt, aber nie zunimmt. Unter streng monoton steigend oder fallend, verstehen wir immer steigend oder fallend und schliessen damit den Fall aus, in welchem…

Kann für eine Folge eine obere oder eine untere Grenze festgelegt werden, die von den Folgewerten nie überschritten wird, so spricht man von einer beschränkten Folge. Beispiel Ist die Folge beschränkt? Die Glieder der Folge sind: . Die Differenz von einem Glied zum Nächsten beträgt:         Die Differenz ist definitiv positiv, d.h….