Funktionen, die eine Unstetigkeit oder einen Knick aufweisen, sind an der betreffenden Stelle nicht differenzierbar, d.h. die Steigung des Funktionsgraphen (Ableitung der Funktion) kann an dieser Stelle nicht bestimmt werden.
Mit dem Differenzenquotienten wird die Steigung einer Sekante in einem Steigungsdreieck bestimmt. Im Grenzfall des unendlich kleinen Steigungsdreiecks, wird Differenzenquotient zum Differenzialquotient.
Durch Ableiten (Differenzieren) einer Funktion, erhalten wir die Ableitungsfunktion. Leiten wir diese Ableitungsfunktion wieder ab, erhalten wir die sog. zweite Ableitung. Durch mehrfaches Ableiten erhalten wir die höheren Ableitungen.
Polynomfunktionen können besonders einfach abgeleitet werden, indem wir mit dem Exponenten multiplizieren und diesen dann um eins reduzieren.
Die Ableitungsfunktionen von trigonometrischen Funktionen sind wiederum trigonometrische Funktionen.
Die Ableitungsfuntkion der Exponentialfunktion ist wiederum die Exponentialfunktion. Die Ableitung der Logarithmusfunktion ist speziell für die Integralrechnung von Nutzen, weil beim Integrieren die Ableitung wieder rückgängig gemacht wird.
Die Hyperbelfunktionen sind bezüglich Ableitung fast gleich zu behandeln, wie die trigonometrischen Funktionen, d.h. die Ableitungen der Hyperbelfunktionen sind auch Hyperbelfunktionen.
Die Summenregel der Differenzialrechnung besagt, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe der einzelnen abgeleiteten Funktionen ist.
Ein konstanter Faktor kann aus der Funktion herausgenommen und am Schluss dann wieder mit der Ableitungsfunktion multipliziert werden.
Mit der Produktregel kann ein Produkt von zwei Teilfunktionen einzeln abgeleitet und erst am Schluss wieder zu einem Ganzen zusammengeführt werden,
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