Trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen sind fast wie ein Wundermittel für Dreiecke. Man kann mit ihnen fast alle geometrischen Probleme lösen bzw. berechnen. Wir schauen uns zuerst die Situation im rechtwinkligen Dreieck an, wo sie am einfachsten zu erklären sind. Es ist wichtig, dass wir diese Anwendung im rechtwinkligen Dreieck gut verstehen und sie uns auch gut…

Wir betrachten jetzt den Einheitskreis im -Koordinatensystem. Der Einheitskreis hat einen Radius von . Das ist besonders praktisch, wie wir gleich sehen werden. Nun wählen wir einen beliebigen Punkt A auf dem Kreis aus (siehe Abbildung). Wir können diesen Punkt natürlich bequem mit dem Winkel beschreiben. Die Koordinaten dieses Punkts sind aber auch einfach zu…

Wir spielen jetzt mit dem Winkel und lassen ihn bei null starten, erhöhen ihn immer mehr bis 90°, 180°, 270°, bis schliesslich 360°. Grössere Winkel brauchen wir uns nicht anzuschauen, denn von da an wiederholt sich die Sache nur, beispielsweise sollten wir für gleich viel kriegen, wie für . Wir stellen eine kleine Wertetabelle auf…

Wir betrachten jetzt die Kosinus-Funktion und machen auch wieder eine kleine Wertetabelle, indem wir uns die -Koordinate des Punkts auf dem Einheitskreis vorstellen: 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 1   0 -1 0 1 Der Wert der Kosinus-Funktion schwingt ebenfalls zwischen -1 und +1 hin und her – nichts erstaunliches soweit. Allerdings…

Tangens-Funktion Während Sinus und Kosinus sich sehr ähneln, ist der Tangens dann doch ziemlich anders. Wir gehen wieder gleich vor und überlegen uns den Tangens für verschiedene Winkel , den wir im Einheitskreis immer grösser wählen. Im Einheitskreis entspricht der Tangens der Länge der Gegenkathete des hellen, grösseren Dreiecks. Jedoch ist das Verhältnis von Gegenkathete…

Sinus und Kosinus Bei der Besprechung der Kosinus-Funktion ist uns schon aufgefallen, dass der Verlauf der Kosinus-Funktion gleich ist, wie der Verlauf der Sinus-Funktion, nur um 90° nach links versetzt. Wir können deshalb sagen, dass wir für eine andere -Koordinate, die wir jetzt nennen, aus dem Kosinus durchaus einen Sinus erhalten. Die y-Achse startet einfach…

Wenn wir im Einheitskreis die Länge eines Bogens nehmen, das dem Winkel entspricht, dann können wir diese Bogenlänge als Ersatzmass für den Winkel benutzen. Statt die üblichen ° benutzen wir beim Bogenmass die Einheit Radiant benutzen, die mit dem Kürzel rad abgekürzt wird. Schauen wir uns zuerst ein Beispiel an: Der rechte Winkel entspricht einem…

Arkussinus und Arkuskosinus Wir betrachten nun die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Sie sind v.a. dann nützlich, wenn wir eine einfache trigonometrische Gleichungen zu lösen haben, z.B:     Wir erinnern uns an die einführende Funktionentheorie, nach welcher wir der Funktion einen Input geben und sie uns einen Output herausgibt. Der Input wird Argument, der Output…

Wir werden hier nur die wichtigsten Formeln beim Rechnen mit trigonometrischen Funktionen kennenlernen. Eine Formel werden wir auch herleiten. Sie ist sehr einfach und kommt immer wieder vor. Wir sollten deshalb unbedingt auswendig lernen. Sicher hast Du noch das rechtwinklige Dreieck im Kopf, das wir ganz am Anfang angeschaut hatten. Wir hatten dort den Sinus…